Square（斯特林反演）

题意

给出一个 $n × m$ 大小的矩形，每个位置可以填上 $[1, c]$ 中的任意一个数，要求填好后任意两行互不等价且任意两列互不等价，两行或两列等价当且仅当对应位置完全相同，求方案数。

$n, m \le 5000$

题解

这题是 Wearry 出的神题，根本不会做。。。把题解搬过来了。

首先我们有一个很简单的方式使得列之间互不等价，对于任意一列，总方案数是 $c^n$ , 那么使得列与列之间互不相同的方案数为 ${(c^n)}^{\underline{m}}$ 。

接下来的问题只与行数有关 , 定义 $g(n)$ 表示 $n$ 行不保证每行互不等价的方案数 , $f(n)$ 表示 $n$ 行保证任意两行互不等价的方案数 , 有 :

\begin{aligned} (1) & g (n) & = {(c^{n})}^{\underline{m}} \\ (2) & = \sum_{i = 0}^{n} {\binom{n}{i}} f (i) \end{aligned}

$\begin{align} g(n) &= {(c^n)}^{\underline{m}}\\ &= \sum_{i=0}^{n} {n \brace i} f(i)\\ \end{align}$

考虑这个式子的意义，就是枚举了有几行是不同的，然后将 $n$ 行分成这 $i$ 种不同的行（每个非空）的方案。

然后考虑斯特林反演就行了。（此处指不带符号的第一类斯特林数）

\begin{aligned} (3) & g (n) & = \sum_{i = 0}^{n} {\binom{n}{i}} f (i) \\ (4) & \Leftrightarrow f (n) & = \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{n - i} [\begin{matrix} n \\ i \end{matrix}] g (i) \end{aligned}

$\begin{align} g(n) &= \sum_{i=0}^{n} {n \brace i} f(i) \\ \Leftrightarrow f(n) &= \sum_{i=0}^{n} (-1)^{n-i} \begin{bmatrix}n\\ i\end{bmatrix} g(i) \end{align}$

然后在 $O(nm)$ 的时间里求出第一类斯特林数，就可以做完了。

其实还有更快的求法，但是对于这题原来数据没有必要。

见此博客 orz orz 生成函数大师 SunwayShichengLight 。

瓶颈在分治 $NTT$ 处理下降幂那里，可以优化到 $O(n \log^2 n)$ 。

总结

对于行列计算方案的题，常常可以考虑枚举一维，用容斥或者斯特林反演做。

对于另外一维可以快速计算可行的方案，来除掉一维的限制。

代码

自己写

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本文作者：zjp_shadow
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