Square（斯特林反演）

题意

给出一个 \(n × m\) 大小的矩形，每个位置可以填上 \([1, c]\) 中的任意一个数，要求填好后任意两行互不等价且任意两列互不等价，两行或两列等价当且仅当对应位置完全相同，求方案数 。

\(n, m \le 5000\)

题解

这题是 Wearry 出的神题，根本不会做。。。把题解搬过来了。

首先我们有一个很简单的方式使得列之间互不等价，对于任意一列，总方案数是 \(c^n\) , 那么使得列与列之间互不相同的方案数为 \({(c^n)}^{\underline{m}}\) 。

接下来的问题只与行数有关 , 定义 \(g(n)\) 表示 \(n\) 行不保证每行互不等价的方案数 , \(f(n)\) 表示 \(n\) 行保证任意两行互不等价的方案数 , 有 :

\[\begin{align} g(n) &= {(c^n)}^{\underline{m}}\\ &= \sum_{i=0}^{n} {n \brace i} f(i)\\ \end{align} \]

考虑这个式子的意义，就是枚举了有几行是不同的，然后将 \(n\) 行分成这 \(i\) 种不同的行（每个非空）的方案。

然后考虑斯特林反演就行了。（此处指不带符号的第一类斯特林数）

\[\begin{align} g(n) &= \sum_{i=0}^{n} {n \brace i} f(i) \\ \Leftrightarrow f(n) &= \sum_{i=0}^{n} (-1)^{n-i} \begin{bmatrix}n\\ i\end{bmatrix} g(i) \end{align} \]

然后在 \(O(nm)\) 的时间里求出第一类斯特林数，就可以做完了。

其实还有更快的求法，但是对于这题原来数据没有必要。

见此博客 orz orz 生成函数大师 SunwayShichengLight 。

瓶颈在分治 \(NTT\) 处理下降幂那里，可以优化到 \(O(n \log^2 n)\) 。

总结

对于行列计算方案的题，常常可以考虑枚举一维，用容斥或者斯特林反演做。

对于另外一维可以快速计算可行的方案，来除掉一维的限制。

代码

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