Codeforces 700 C. Break Up（Tarjan求桥）

题意

给你一个有 $n$ 个点， $m$ 条边的无向图，每条有边权 $w_i$ ，现在要选择至多两条边断开，使得 $S, T$ 不连通，并且使得边权和尽量小。

$n \le 1000, m \le 30000$

题解

我们分要选的边数进行考虑。

$0$ 条边：一开始 $S,T$ 不连通直接判掉即可。
$1$ 条边：我们发现数据较小，可以暴力做。首先这条边必定存在于 $S,T$ 在 Dfs 树的路径上，一开始先 Dfs 求出路径，然后依次枚举每条边断开，再用 Dfs 判是否连通就行了，最后把边权取个 $\min$ 就行了。复杂度是 $O(n(n+m))$ 。
$2$ 条边：可以和上面的思路一样做，因为其中一条边也是存在于之前那条路径上的。然后我们依旧是暴力枚举第一条路径。然后我们再断开那条边，再求出 Dfs 树，然后用 Tarjan 求出桥边就行了，然后依次判断这些树边是否为桥边。如果是，那么就是一个合法解，最后把答案和这两条边权和取 $\min$ 。复杂度也是 $O(n(n+m))$ 的。

总结

对于一类 $n, m$ 范围不同的题，如果要暴力枚举每一条边，可以找找这条边是否有什么性质，常常可以将枚举边的条数从 $O(m)$ 降到 $O(n)$ 。

代码

这里需要注意实现细节。比如 Dfs 求 $S \to T$ 路径，我们可以不要求 $Lca$ ，可以从 $S$ Dfs 的时候，记下这条路径是否到达了 $T$ ，因为是树所以路径唯一。

然后会有重边的情况，我们可以第一次枚举到 $u$ 点的父亲时候跳过，后面都需要更新 lowlink 就行了。

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << x << endl
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define mp make_pair

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

inline bool chkmin(int &a, int b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
inline bool chkmax(int &a, int b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}

inline int read() {
	int x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
	for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fh = -1;
	for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
	return x * fh;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
	freopen ("F.in", "r", stdin);
	freopen ("F.out", "w", stdout);
#endif
}

const int N = 1010, M = 30100 << 1, inf = 0x7f7f7f7f;

int Head[N], Next[M], to[M], val[M], e = 1;

inline void add_edge(int u, int v) { to[++ e] = v; Next[e] = Head[u]; Head[u] = e; }

inline void Add(int u, int v) { add_edge(u, v); add_edge(v, u); }

#define Travel(i, u, v) for(int i = Head[u], v = to[i]; i; v = to[i = Next[i]])

int S, T;
vector<int> V, G; bitset<N> vis; bitset<M> ban;
bool Dfs(int u) {
	vis[u] = true; if (u == T) return true;
	Travel(i, u, v) if (!ban[i] && !vis[v] && Dfs(v))
		return V.push_back(i), true;
	return false;
}

int clk, dfn[N], lowlink[N]; bitset<M> Bridge;
void Tarjan(int u, int fa = 0) {
	dfn[u] = lowlink[u] = ++ clk;
	bool fir = true;
	Travel(i, u, v) if (!ban[i]) {
		if (v == fa && fir) { fir = false; continue ; }
		if (!dfn[v]) {
			Tarjan(v, u);
			chkmin(lowlink[u], lowlink[v]);
			if (lowlink[v] > dfn[u]) Bridge[i] = Bridge[i ^ 1] = true;
		} else chkmin(lowlink[u], dfn[v]);
	}
}

PII Ans;

int main () {

	File();

	int n = read(), m = read(); S = read(); T = read();

	For (i, 1, m) {
		int u = read(), v = read(), w = read();
		Add(u, v); val[e] = val[e ^ 1] = w;
	}

	if (!Dfs(S)) return puts("0\n0"), 0; G.swap(V);

	int ans = inf;
	for (int cur : G) {
		ban[cur] = ban[cur ^ 1] = true; vis.reset();
		if (!Dfs(S)) {
			if (chkmin(ans, val[cur])) Ans = mp(cur >> 1, 0); 
			ban[cur] = ban[cur ^ 1] = false; continue ; 
		}

		clk = 0; Bridge.reset(); Set(dfn, 0);
		For (i, 1, n) if (!dfn[i]) Tarjan(i, 0);
		for (int cut : V) 
			if (Bridge[cut] && chkmin(ans, val[cur] + val[cut])) Ans = mp(cur >> 1, cut >> 1);

		V.clear(); ban[cur] = ban[cur ^ 1] = false;
	}
	if (ans == inf) return puts("-1"), 0;
	printf ("%d\n", ans);
	if (!Ans.second) printf ("1\n%d\n", Ans.first);
	else printf ("2\n%d %d\n", Ans.first, Ans.second);

	return 0;

}

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本文作者：zjp_shadow
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