51nod 1318 最大公约数与最小公倍数方程组（2-SAT）
题意
给你 \(n\) 个元素，\(m\) 个方程。
每个方程形如
之类的形式。
询问这个方程组是否有解。有 \(T\) 组数据。
\(1 \le T \le 10, 1 \le n, m \le 200\) 。
题解
这道题是一个很巧妙的 \(2-SAT\) 。不会的话，可以参考 2-SAT 问题与解法小结 。
我们可以这样设计变量，令变量 \(a[i][j][k]\) 表示是否有 \(\displaystyle p^j | x_i\) ，上面限制就能表示出来啦。
一开始觉得每个质因子可以单独考虑，后来发现要一起考虑，因为别的 \(gcd, lcm\) 会限制这个的次数。
具体来说是这样的。
-
\(\gcd(x_i, y_i) = c_i\)
那么我们首先考虑 \(x_i, y_i\) 中与 \(c_i\) 互质的质因子 \(p\) 。
对于这些质因子 \(p\) ， \(x, y\) 不能同时出现我们连一条 \(a[x][p][1] \to \neg a[y][p][1]\) 的边（注意要连逆否命题的边）。
那么我们接下来可以考虑，假设 \(c_i\) 存在质因子 \(p\) 的最高次数为 \(k\) 。
那么 \(x_i, y_i\) 两个数对于 \(p\) 的最低次数为 \(k\) ，且必有一个数次数刚好为 \(k\) ，那么连三条边就行了。
首先强制使得 \(a[x][p][k], a[y][p][k]\) 为真。（也就是连一条从真到假的边就行了）
然后如果 \(a[x][p][k + 1]\) 为真，那么要使得 \(a[y][p][k + 1]\) 为假。（逆否也要）
这是因为不能存在两个次数都 \(\ge k+1\) 。
-
\(\mathrm{lcm} (x_i, y_i) = d_i\)
同样先考虑 \(x_i, y_i\) 中与 \(d_i\) 互质的质因子 \(p\) 。
对于这些质因子 \(p\) ， \(x, y\) 不能包含，所以强制使得 \(a[x][p][1], a[y][p][1]\) 为假。
那么我们接下来可以考虑，假设 \(d_i\) 存在质因子 \(p\) 的最高次数为 \(k\) 。
同上， \(x_i, y_i\) 两个数对于 \(p\) 的最高次数为 \(k\) ，且必有一个数次数刚好为 \(k\) ，那么连三条边就行了。
强制使得 \(a[x][p][k+1], a[y][p][k+1]\) 为假。
然后如果 \(a[x][p][k]\) 为假，那么要使得 \(a[y][p][k]\) 为真。（逆否也要）
连完这些，还要记得 \(a[x][p][k]\) 为真时，\(a[x][p][k - 1]\) 也要为真。
然后就可以轻松愉悦的码码码了。
然后对于 \(a[x][p][k]\) 标号的时候，可以用 std :: map<int, map<int, map<int, int> > > id 来实现qwq
STL大法好！！！
复杂度是 \(O(Tm \log 10^9)\) 的。
总结
对于 \(\gcd, \mathrm{lcm}\) 的题，可以对于指数进行考虑，就变成了高维的取 \(\min\) 和取 \(\max\) 问题。
代码
建议 抄 学习一下我的代码
#include <bits/stdc++.h>
#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << x << endl
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define fir first
#define sec second
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
inline bool chkmin(int &a, int b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
inline bool chkmax(int &a, int b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}
inline int read() {
int x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fh = -1;
for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
return x * fh;
}
void File() {
#ifdef zjp_shadow
freopen ("1318.in", "r", stdin);
freopen ("1318.out", "w", stdout);
#endif
}
const int N = 2e4 + 1e3;
struct Two_Sat {
int n; vector<int> G[N];
void Init(int n) {
this -> n = n;
For (i, 2, n << 1 | 1) G[i].clear();
}
void Add(int x, int xv, int y, int yv) {
x = x << 1 | xv; y = y << 1 | yv;
G[x].push_back(y); G[y ^ 1].push_back(x ^ 1);
}
int sccno[N], scc_cnt, dfn[N], lowlink[N], sta[N], top, clk;
void Tarjan(int u, int fa = 0) {
dfn[u] = lowlink[u] = ++ clk; sta[++ top] = u;
for (int v : G[u])
if (!dfn[v]) Tarjan(v, u), chkmin(lowlink[u], lowlink[v]);
else if (!sccno[v]) chkmin(lowlink[u], dfn[v]);
if (dfn[u] == lowlink[u]) {
++ scc_cnt; int now;
do sccno[now = sta[top --]] = scc_cnt; while (u != now);
}
}
bool Solve(int n) {
this -> n = n;
For (i, 2, n << 1 | 1) dfn[i] = sccno[i] = 0; scc_cnt = clk = 0;
For (i, 2, n << 1 | 1) if (!dfn[i]) Tarjan(i);
For (i, 1, n) if (sccno[i << 1] == sccno[i << 1 | 1]) return false;
return true;
}
} T;
int n, m;
struct Equation {
int x, y, val, opt;
} lt[N];
set<int> fac[N];
void Get_Factor(int x, int val) {
For (i, 2, sqrt(val + .5)) if (!(val % i)) {
while (!(val % i)) val /= i; fac[x].insert(i);
}
if (val > 1) fac[x].insert(val);
}
int Size; map<int, map<int, map<int, int> > > id;
int Get_Id(int x, int p, int k) {
if (!id[p][x][k]) id[p][x][k] = ++ Size; return id[p][x][k];
}
void Build_Again() {
for (auto i : id) for (auto j : i.sec) {
int Last = 0; for (auto k : j.sec) {
if (Last) T.Add(k.sec, 1, Last, 1); Last = k.sec;
}
}
id.clear();
}
void Modify(int x, int val) {
T.Add(x, val ^ 1, x, val);
}
void Resolve(int x, int y, int opt, int val) {
set<int> fx = fac[x]; set<int> fy = fac[y];
int tmp = val;
For (i, 2, sqrt(val + .5)) if (!(val % i)) {
while (!(val % i)) val /= i; fx.erase(i); fy.erase(i);
}
if (val > 1) fx.erase(val), fy.erase(val); val = tmp;
if (opt == 1) {
for (auto prime : fx) Modify(Get_Id(x, prime, 1), 0);
for (auto prime : fy) Modify(Get_Id(y, prime, 1), 0);
} else {
vector<int> V;
set_union(fx.begin(), fx.end(), fy.begin(), fy.end(), inserter(V, V.begin()));
for (int prime : V) {
T.Add(Get_Id(x, prime, 1), 1, Get_Id(y, prime, 1), 0);
T.Add(Get_Id(y, prime, 1), 1, Get_Id(x, prime, 1), 0);
}
}
register int i = 2;
while (val > 1) {
if (!(val % i)) {
int cnt = 1; while (!(val % i)) val /= i, ++ cnt;
if (!opt) {
Modify(Get_Id(x, i, cnt), 1);
Modify(Get_Id(y, i, cnt), 1);
T.Add(Get_Id(x, i, cnt + 1), 1, Get_Id(y, i, cnt + 1), 0);
} else {
Modify(Get_Id(x, i, cnt + 1), 0);
Modify(Get_Id(y, i, cnt + 1), 0);
T.Add(Get_Id(x, i, cnt), 0, Get_Id(y, i, cnt), 1);
}
}
++ i; if (i * i > val) i = val;
}
}
int main () {
File();
for (int cases = read(); cases; -- cases) {
Size = 0;
n = read(); m = read();
For (i, 1, n) fac[i].clear();
For (i, 1, m) {
static char str[5];
scanf ("%s", str + 1);
int opt = str[1] == 'L', x = read(), y = read(), val = read();
lt[i] = (Equation) {x, y, val, opt};
Get_Factor(x, val); Get_Factor(y, val);
}
For (i, 1, m) Resolve(lt[i].x, lt[i].y, lt[i].opt, lt[i].val); Build_Again();
puts(T.Solve(Size) ? "Solution exists" : "Solution does not exist"); T.Init(Size);
}
return 0;
}
