BZOJ 1124: [POI2008]枪战Maf（构造 + 贪心）

题意

有 \(n\) 个人，每个人手里有一把手枪。一开始所有人都选定一个人瞄准（有可能瞄准自己）。然后他们按某个顺序开枪，且任意时刻只有一个人开枪。

因此，对于不同的开枪顺序，最后死的人也不同。

问最后死的人数最小值以及最大值。 \((1 \le n \le 10^6)\)

题解

不难发现是一道思博构造题。

首先考虑下最大值，我们只需要把这张图分三种情况讨论：

1. 单个自环，贡献为 \(1\)
2. 一个大于 \(1\) 的环，贡献为 \(len - 1\)
3. 一个基环树，贡献为 \(size - num_{leaf}\)

对于最小值的话，我们可以不断模拟。

具体来说就是一开始把入度为 \(0\) 的人加入，这些人是活着的，然后他们瞄准的人就是必死的。

每次考虑连续三个点就行了，他们的顺序就是 活 \(\to\) 死 \(\to\) 活 的。（其实第三个人不一定活的）

然后我们对于第三个点的入度就会 \(-1\) ，如果为 \(0\) 我们加进队列继续操作。（这就意味着，它在其中任何一次死了。我们都不会加进去）

然后这样不断操作，最后只会留下环，不难发现环上至少死 \(\displaystyle \lceil \frac{len}{2} \rceil\) 个人，这样就可以做完了qwq

总结

构造题认真想想还是想的出来的，但是需要大胆猜想小心求证才行qwq

代码

这道题实现起来其实有一些巧妙之处，建议读者仔细阅读。（参考了一下 ACist大佬的博客 )

我这个代码加上流输入，就可以取得 BZOJ 速度 rank1 的好成绩qwq

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << x << endl
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)

using namespace std;

inline bool chkmin(int &a, int b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
inline bool chkmax(int &a, int b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}

namespace pb_ds
{   
    namespace io
    {
        const int MaxBuff = 1 << 16;
        const int Output = 1 << 22;
        char B[MaxBuff], *S = B, *T = B;
        #define getc() ((S == T) && (T = (S = B) + fread(B, 1, MaxBuff, stdin), S == T) ? 0 : *S++)
        char Out[Output], *iter = Out;
        inline void flush()
        {
            fwrite(Out, 1, iter - Out, stdout);
            iter = Out;
        }
    }

    template<class Type> inline Type read()
    {
        using namespace io;
        register char ch; register Type ans = 0; register bool neg = 0;
        while(ch = getc(), (ch < '0' || ch > '9') && ch != '-')     ;
        ch == '-' ? neg = 1 : ans = ch - '0';
        while(ch = getc(), '0' <= ch && ch <= '9') ans = ans * 10 + ch - '0';
        return neg ? -ans : ans;
    }
}

using namespace pb_ds;

void File() {
#ifdef zjp_shadow
	freopen ("1124.in", "r", stdin);
	freopen ("1124.out", "w", stdout);
#endif
}

const int N = 1e6 + 1e3;

int n, aim[N], deg[N], maxlive, minlive; bitset<N> dead, arrive;

int main () {

	File();

	n = read<int>();
	For (i, 1, n) ++ deg[aim[i] = read<int>()];

	queue<int> Q;
	For (i, 1, n) if (!deg[i]) Q.push(i), ++ minlive;
	while (!Q.empty()) {
		int u = aim[Q.front()], v = aim[u]; Q.pop();
		++ maxlive; if (dead[u]) continue ;
		dead[u] = true; arrive[v] = true;
		if (!(-- deg[v])) Q.push(v);
	}

	For (i, 1, n) if (deg[i] && !dead[i]) {
		int len = 0; bool flag = false;
		for (register int u = i; !dead[u]; u = aim[u]) 
			dead[u] = true, ++ len, flag |= arrive[u];
		if (!flag && len > 1) ++ minlive;
		maxlive += len / 2;
	}
	printf ("%d %d\n", n - maxlive, n - minlive);

    return 0;
}