LOJ #2359. 「NOIP2016」天天爱跑步（倍增+线段树合并）

题意

LOJ #2359. 「NOIP2016」天天爱跑步

题解

考虑把一个玩家的路径 $(x, y)$ 拆成两条，一条是 $x$ 到 $lca$ （ $x, y$ 最近公共祖先） 的路径，另一条是 $lca$ 到 $y$ 的路径。（对于 $x, y$ 是 $lca$ 的情况需要特殊考虑一下就行了）

这个求 $lca$ 的过程用倍增实现就行了。

假设令到达时间为 $at$ 。

不难发现，在树上向上的路径满足 $dep_u + at_u=d_1$ （深度+到达时间） 是个定值。这个可以这样考虑，向上走 到达时间 $+1$ ，且深度会 $-1$ ，所以不会变。

同理可得，向下走的路径满足 $dep_u - at_u=d_2$ （深度-到达时间） 是个定值。

我们考虑对于一条路径，差分表示在树上，也就是 $x \to y$ 这条路径，我们在 $x$ 处加入， $y$ 处除去。

然后考虑每次我们线段树合并两个子树维护关于 $d_1$ 以及 $d_2$ 出现的次数。

然后对于一个点 $u$ 要查询的就是 $dep_u + w_u = d_1'$ 的值，以及 $dep_u - w_u = d_2'$ 的值。

时间复杂度是 $O(n \log n)$ 的，其实跑得挺快的？

具体看代码实现吧qwq。

代码

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << x << endl
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)

using namespace std;

inline bool chkmin(int &a, int b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
inline bool chkmax(int &a, int b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}

inline int read() {
    int x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fh = -1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
    return x * fh;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
	freopen ("2359.in", "r", stdin);
	freopen ("2359.out", "w", stdout);
#endif
}

const int N = 3e5 + 1e3, Maxn = N * 40;

#define lson ls[o], l, mid
#define rson rs[o], mid + 1, r

struct Segment_Tree {

	int ls[Maxn], rs[Maxn], sumv[Maxn], Size;

	Segment_Tree() { Size = 0; }

	void Update(int &o, int l, int r, int up, int uv) {
		if (!o) o = ++ Size;
		if (l == r) { sumv[o] += uv; return ; }
		int mid = (l + r) >> 1;
		if (up <= mid) Update(lson, up, uv); else Update(rson, up, uv);
	}

	int Query(int o, int l, int r, int qp) {
		if (l == r) return sumv[o];
		int mid = (l + r) >> 1;
		return qp <= mid ? Query(lson, qp) : Query(rson, qp);
	}

	int Merge(int x, int y, int l, int r) {
		if (!x || !y) return x | y;
		if (l == r) { sumv[x] += sumv[y]; return x; }
		int mid = (l + r) >> 1;
		ls[x] = Merge(ls[x], ls[y], l, mid); 
		rs[x] = Merge(rs[x], rs[y], mid + 1, r);
		return x;
	}

} TU, TD;

int to[N][23], dep[N], Log2[N]; vector<int> G[N];

void Dfs_Init(int u, int fa = 0) {
	to[u][0] = fa; dep[u] = dep[fa] + 1;
	for (int v : G[u]) if (v != fa) Dfs_Init(v, u);
}

int tmp;
inline int Get_Lca(int x, int y) {
	if (dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
	int gap = dep[x] - dep[y];
	For (i, 0, Log2[gap] + 1)
		if ((gap >> i) & 1) x = to[x][i];
	if (x == y) return x;

	Fordown (i, Log2[dep[x]], 0)
		if (to[x][i] != to[y][i]) x = to[x][i], y = to[y][i]; tmp = y;
	return to[x][0];
}

int n, m, W[N], ans[N];

vector<int> TagU[N], TagD[N], DelU[N], DelD[N];

int rtU[N], rtD[N];
void Dfs(int u, int fa = 0) {
	for (int v : G[u]) if (v ^ fa) {
		Dfs(v, u);
		rtU[u] = TU.Merge(rtU[u], rtU[v], -n, n * 2);
		rtD[u] = TD.Merge(rtD[u], rtD[v], -n, n * 2);
	}
	for (int pos : TagU[u]) TU.Update(rtU[u], -n, n * 2, pos, 1);
	for (int pos : TagD[u]) TD.Update(rtD[u], -n, n * 2, pos, 1);

	ans[u] = TU.Query(rtU[u], -n, n * 2, W[u] + dep[u]) + 
			 TD.Query(rtD[u], -n, n * 2, W[u] - dep[u]) ;

	for (int pos : DelU[u]) TU.Update(rtU[u], -n, n * 2, pos, -1);
	for (int pos : DelD[u]) TD.Update(rtD[u], -n, n * 2, pos, -1);
}

int main () {

	File();

	n = read(); m = read();

	For (i, 1, n - 1) { int u = read(), v = read(); G[u].push_back(v); G[v].push_back(u); }

	Dfs_Init(1);

	For (i, 2, n)
		Log2[i] = Log2[i >> 1] + 1;
	For (j, 1, Log2[n]) For (i, 1, n)
		to[i][j] = to[to[i][j - 1]][j - 1];

	For (i, 1, n)
		W[i] = read();

	For (i, 1, m) {
		int x = read(), y = read(), Lca = Get_Lca(x, y);

		int d1 = dep[x], d2 = - dep[x];

		if (Lca == y) { TagU[x].push_back(d1); DelU[y].push_back(d1); continue ; }
		if (Lca == x) { TagD[y].push_back(d2); DelD[x].push_back(d2); continue ; }

		d2 = (dep[x] - dep[Lca] + 1) - dep[tmp];
		TagU[x].push_back(d1); DelU[Lca].push_back(d1);
		TagD[y].push_back(d2); DelD[tmp].push_back(d2);
	}

	Dfs(1);
	For (i, 1, n)
		printf ("%d%c", ans[i], i == iend ? '\n' : ' ');

	return 0;

}

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本文作者：zjp_shadow
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