BZOJ 2159: Crash 的文明世界(树形dp+第二类斯特林数+组合数)

题意

给定一棵 n 个点的树和一个常数 k , 对于每个 i , 求

S(i)=j=1ndist(i,j)k

n50000,k150

题解

先划划那个 S(i) 的式子

我们需要知道一个化 xn(n0) 的东西qwq

xn=k=0n{nk}xk_=k=0n(1)k{nk}xk¯

这个式子十分的有用,可以转化很多幂指数的东西为斯特林数。

S(i)=j=1nl=0k{kl}dist(i,j)l_

然后换个位置

S(i)=l=0k{kl}j=1ndist(i,j)l_

然后用一下组合数的一个定义式子:

(nk)=n!(nk)!k!=nk_k!

nk_=(nk)k!

这也可以导出下降幂了

S(i)=l=0k{kl}l!j=1n(dist(i,j)l)

前面那一部分显然是稳定不变的,我们就可以去维护第二部分啦

dp[i][l]=j=1n(dist(i,j)l)

由于是组合数我们就可以直接套用它的一个递推式来转移了(因为转移的时候,所有 dist(i,j) 同增减 1

(nk)=(n1k)+(n1k1)

同样的,就有 dp[i][l]=dp[j][l]+dp[j][l1] 此处 ji 的一个儿子。(这个递推式用来转移真的是巧妙啊qwq)

然后我们要算两个 dp 值,一个 fi,l 统计子树的,一个 gi,l 统计子树外的。

统计子树外的时候,要先算父亲那过来的贡献,然后再算兄弟的贡献。

算兄弟的贡献可以用父亲贡献减掉自己的贡献(见代码中分步写的 gi,j 的转移) 而且要先转移,再遍历

所以最后 O(nk) 个状态, O(1) 的转移,总复杂度就是 Θ(nk) .

那个解压输入直接拷贝了 Hany01 大佬的 qwq不会写

代码

/************************************************************** Problem: 2159 User: zjp_shadow Language: C++ Result: Accepted Time:4156 ms Memory:67680 kb ****************************************************************/ #include <bits/stdc++.h> #define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i) #define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i) #define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a)) using namespace std; inline bool chkmin(int &a, int b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;} inline bool chkmax(int &a, int b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;} inline int read() { int x = 0, fh = 1; char ch = getchar(); for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fh = -1; for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48); return x * fh; } void File() { #ifdef zjp_shadow freopen ("2159.in", "r", stdin); freopen ("2159.out", "w", stdout); #endif } const int Mod = 10007, N = 50010; vector<int> G[N]; int n, k, S[160][160]; int fac[160]; void Init(int maxn) { S[0][0] = 1; For (i, 1, maxn) { S[i][1] = 1; For (j, 1, i) S[i][j] = (j * S[i - 1][j] % Mod + S[i - 1][j - 1]) % Mod; } fac[0] = fac[1] = 1; For (i, 2, maxn) fac[i] = fac[i - 1] * i % Mod; } int f[N][160], sz[N]; void Dfs1(int u, int fa) { f[u][0] = 1; sz[u] = 1; For (i, 0, G[u].size() - 1) { int v = G[u][i]; if (v == fa) continue ; Dfs1(v, u); sz[u] += sz[v]; (f[u][0] += f[v][0]) %= Mod; For (j, 1, k) (f[u][j] += f[v][j] + f[v][j - 1]) %= Mod; } } int g[N][160]; void Dfs2(int u, int fa) { g[u][0] = (n - sz[u]) % Mod; if (fa) { For (i, 1, k) { g[u][i] = g[fa][i] + g[fa][i - 1]; g[u][i] += f[fa][i] - (f[u][i] + f[u][i - 1]); g[u][i] += f[fa][i - 1] - (f[u][i - 1] + (i > 1 ? f[u][i - 2] : 0)); g[u][i] = (g[u][i] % Mod + Mod) % Mod; } } For (i, 0, G[u].size() - 1) { int v = G[u][i]; if (v == fa) continue ; Dfs2(v, u); } } int ans[N]; inline void Input_Umcompress() { register int l, now, a, b, q, tmp, u, v; n = read(), k = read(), l = read(), now = read(), a = read(), b = read(), q = read(); For(i, 1, n - 1) now = (now * a + b) % q, tmp = i < l ? i : l, u = i - now % tmp, v = i + 1, G[u].push_back(v), G[v].push_back(u); } int main () { File(); Init(150); Input_Umcompress(); /*n = read(); k = read(); For (i, 1, n - 1) { int u = read(), v = read(); G[u].push_back(v); G[v].push_back(u); }*/ Dfs1(1, 0); Dfs2(1, 0); For (i, 1, n) { For (l, 0, k) (ans[i] += S[k][l] * fac[l] % Mod * (f[i][l] + g[i][l]) % Mod) %= Mod; printf ("%d\n", ans[i]); } return 0; }

__EOF__

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