题意
给定一棵 n 个点的树和一个常数 k , 对于每个 i , 求
S(i)=n∑j=1dist(i,j)k
n≤50000,k≤150
题解
先划划那个 S(i) 的式子
我们需要知道一个化 xn(n≥0) 的东西qwq
xn=n∑k=0{nk}xk––=n∑k=0(−1)k{nk}x¯¯¯k
这个式子十分的有用,可以转化很多幂指数的东西为斯特林数。
S(i)=n∑j=1k∑l=0{kl}dist(i,j)l–
然后换个位置
S(i)=k∑l=0{kl}n∑j=1dist(i,j)l–
然后用一下组合数的一个定义式子:
(nk)=n!(n−k)!k!=nk––k!
∴nk––=(nk)k!
这也可以导出下降幂了
S(i)=k∑l=0{kl}l!n∑j=1(dist(i,j)l)
前面那一部分显然是稳定不变的,我们就可以去维护第二部分啦
令 dp[i][l]=n∑j=1(dist(i,j)l)
由于是组合数我们就可以直接套用它的一个递推式来转移了(因为转移的时候,所有 dist(i,j) 同增减 1 )
(nk)=(n−1k)+(n−1k−1)
同样的,就有 dp[i][l]=dp[j][l]+dp[j][l−1] 此处 j 是 i 的一个儿子。(这个递推式用来转移真的是巧妙啊qwq)
然后我们要算两个 dp 值,一个 fi,l 统计子树的,一个 gi,l 统计子树外的。
统计子树外的时候,要先算父亲那过来的贡献,然后再算兄弟的贡献。
算兄弟的贡献可以用父亲贡献减掉自己的贡献(见代码中分步写的 gi,j 的转移) 而且要先转移,再遍历
所以最后 O(nk) 个状态, O(1) 的转移,总复杂度就是 Θ(nk) .
那个解压输入直接拷贝了 Hany01 大佬的 qwq不会写
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
using namespace std;
inline bool chkmin(int &a, int b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
inline bool chkmax(int &a, int b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}
inline int read() {
int x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fh = -1;
for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
return x * fh;
}
void File() {
#ifdef zjp_shadow
freopen ("2159.in", "r", stdin);
freopen ("2159.out", "w", stdout);
#endif
}
const int Mod = 10007, N = 50010;
vector<int> G[N];
int n, k, S[160][160];
int fac[160];
void Init(int maxn) {
S[0][0] = 1; For (i, 1, maxn) { S[i][1] = 1; For (j, 1, i) S[i][j] = (j * S[i - 1][j] % Mod + S[i - 1][j - 1]) % Mod; }
fac[0] = fac[1] = 1; For (i, 2, maxn) fac[i] = fac[i - 1] * i % Mod;
}
int f[N][160], sz[N];
void Dfs1(int u, int fa) {
f[u][0] = 1; sz[u] = 1;
For (i, 0, G[u].size() - 1) {
int v = G[u][i]; if (v == fa) continue ;
Dfs1(v, u); sz[u] += sz[v];
(f[u][0] += f[v][0]) %= Mod;
For (j, 1, k) (f[u][j] += f[v][j] + f[v][j - 1]) %= Mod;
}
}
int g[N][160];
void Dfs2(int u, int fa) {
g[u][0] = (n - sz[u]) % Mod;
if (fa) {
For (i, 1, k) {
g[u][i] = g[fa][i] + g[fa][i - 1];
g[u][i] += f[fa][i] - (f[u][i] + f[u][i - 1]);
g[u][i] += f[fa][i - 1] - (f[u][i - 1] + (i > 1 ? f[u][i - 2] : 0));
g[u][i] = (g[u][i] % Mod + Mod) % Mod;
}
}
For (i, 0, G[u].size() - 1) { int v = G[u][i]; if (v == fa) continue ; Dfs2(v, u); }
}
int ans[N];
inline void Input_Umcompress()
{
register int l, now, a, b, q, tmp, u, v;
n = read(), k = read(), l = read(), now = read(), a = read(), b = read(), q = read();
For(i, 1, n - 1)
now = (now * a + b) % q, tmp = i < l ? i : l,
u = i - now % tmp, v = i + 1, G[u].push_back(v), G[v].push_back(u);
}
int main () {
File(); Init(150);
Input_Umcompress();
Dfs1(1, 0); Dfs2(1, 0);
For (i, 1, n) {
For (l, 0, k)
(ans[i] += S[k][l] * fac[l] % Mod * (f[i][l] + g[i][l]) % Mod) %= Mod;
printf ("%d\n", ans[i]);
}
return 0;
}
__EOF__
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