BZOJ 2969: 矩形粉刷（期望）

题意

给你一个 $w*h$ 的方阵，不断在上面刷格子。每次等概率选择方阵中的两个点（可以相同）将以这两个点为端点的矩形（边平行于矩形边界）进行染色。共染 $k$ 次，问最后被染色的格子的期望值。

题解

（参考了liu_runda大佬的博客）

这真是一道好题~ 思维比较巧妙~

因为我们无法直接考虑每个点 $k$ 次后被染色的期望~~（想一想，为什么）~~

正难则反，我们可以考虑 $k$ 次后没被染色的期望，所以原来被染色的期望就可以转化为 $1-$ 没有被染色的期望。

然后期望的线性性使得我们能够直接计算出每个点的答案。

我们先求它一次没有被染色的期望，在求它的 $k$ 次方就行了。

我也不是直接求它没被染色的期望，而先求它被染色的期望，再用 $1-$ 它就行了。

注意我这里化了两次，一次是求 $k$ 次时，一次是求单次的时候，两次化的不同也就是最后被染色的期望就是 $[1-(1-p)^k]$

则先求它左上方选个点（要包括该点，后同）和右下方选点的方案数加上它右上方和左下方选点的方案数。

这个可以直接乘法原理算出来，但这个会算重复，可以画个图理解理解（我没画图，就调了贼久。。）

就是它所在的列和行的期望会算两遍，所以我们要减去这些贡献。然后中间的又少算了一遍，又要加上。

因为我们选择是有序的，但它选择是无序的，所以要乘上一个 $2$ 。

但有一个特殊点我一直算错了，就是自己本身选两遍的方案不能乘 $2$ ，因为你本身考虑的就是无序的了。

然后用当前的方案数除以总方案数 $(w*h)^2$ 就可以得出它一次被染色期望了，然后瞎搞搞就行了。

~~我的代码应该是网上所见的最简洁的了QAQ~~

代码

/**************************************************************
    Problem: 2969
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:204 ms
    Memory:1288 kb
****************************************************************/
 
#include <bits/stdc++.h>
#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
using namespace std;
 
inline bool chkmin(int &a, int b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
inline bool chkmax(int &a, int b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}
 
inline int read() {
    int x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fh = -1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
    return x * fh;
}
 
void File() {
#ifdef zjp_shadow
    freopen ("P2969.in", "r", stdin);
    freopen ("P2969.out", "w", stdout);
#endif
} 
 
double Pow(double x, int power) {
    double res = 1.0;
    for (; power; power >>= 1, x *= x)
        if (power & 1) res *= x;
    return res;
}
 
#define area(xl, yl, xr, yr) ((xr - xl + 1) * (yr - yl + 1))
int k, w, h;
double allprob, plan, expect = 0.0, now;
 
int main () {
    File();
    cin >> k >> w >> h;
    allprob = (double)(w * h) * (w * h);
    For (i, 1, w)
        For (j, 1, h) {
            plan = 0;
            plan += (double)area(1, 1, i, j) * area(i, j, w, h);
            plan += (double)area(1, j, i, h) * area(i, 1, w, j);
 
            plan -= (double)i * (w - i + 1);
            plan -= (double)j * (h - j + 1);
            plan = plan * 2 + 1;
 
            now = 1.0 - Pow(1.0 - plan / allprob, k);
            expect += now;
        }
    printf ("%.0lf\n", expect);
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：zjp_shadow
本文链接：https://www.cnblogs.com/zjp-shadow/p/8480525.html
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