BZOJ 2683: 简单题（CDQ分治 + 树状数组）

题意

你有一个 $N*N$ 的棋盘，每个格子内有一个整数，初始时的时候全部为 $0$ ，现在需要维护两种操作：

命令	参数限制	内容
$1\ x\ y\ A$	$1\le x,y \le N$ ，A是正整数	将格子 $x,y$ 里的数字加上 $A$
$2\ x1\ y1\ x2\ y2$	$1\le x1\le x2\le N,1\le y1\le y2\le N$	输出 $x1\ y1\ x2\ y2$ 这个矩形内的数字和
$3$	无	终止程序

$1<=N<=500000$ ,操作数不超过 $200000$ 个，内存限制 $20M$ 。

题解

这个题是 cdq分治 的裸题吧。

一维：时间（按输入顺序就行了）

二维： $x$ 坐标（cdq分治）

三维： $y$ 坐标（树状数组）

这个题比较裸，但是cdq分治细节还是有一点的~~（调的错误我可以列一版了。。）~~

算法讲解

但我想简单讲一下cdq分治~~（因为网上很多都很坑没讲清楚）~~

cdq是专门解决多维偏序的问题，比如像这一道题统计二维矩形的权值，或者直接求高维偏序的个数。

如果不用cdq分治，就只能树套树或者KD-tree这种巨型工业数据结构。而且树套树常常空间和常数都很恐怖，并且很难写……

cdq分治是个比较好写的东西，但其中的思想十分的巧妙和神奇。

你应该学过归并排序求逆序对吧，那是最裸的cdq了。他就是利用了左边的答案来更新右边的答案，cdq就是在这个方面不同于普通的分治。

它每次算答案，只能在右边区间算也就是 $[mid+1,r]$ 。这是为什么可以这样呢，因为你初始给它的序列，按这样算的话，绝对只会算它原序列左边的贡献，不会算到右边去。~~（想一想，为什么）~~ 这个只需要自己模拟下分治的区间划分和左右区间考虑就行了。

这就可以会强制使你一开始的那一维有序，对答案计算是正确的。（但切记最后给你的序列不一定是按你给它的顺序了！！！）

然后它中间会有一个排序比较的过程，这就可以使第二个维度变得有序了。（最后的序列一定是第二维度有序的） 然后根据前两个维度算答案就行了，后面的维度全都是附加在这两个维度上面的。

总的步骤：

分开（递归计算左区间和右区间）
计算（用左区间来统计，右区间来加上贡献）
合并（将当前序列变得有序）

又回到题解

这道题，就是对于所有操作进行cdq分治（一般都是对于操作进行分治）。

第三维用树状数组统计 $y$ 的前缀和就行了，因为 $x$ 已经排好序了，所以可以直接算了。

左区间只执行Add操作，右区间只执行Sum操作。

对于一个询问操作，要将它拆成4个询问操作（就是类似询问二维前缀和），加加减减就行了。

注意几个细节（我调了很久的点）

树状数组清空的时候，下标不是val而是y；
拆矩阵的时候，一定要不要写错下标；

然后多拍几组，写个暴力很容易查出来的。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define For(i, l, r) for(register int i = (l), _end_ = (int)(r); i <= _end_; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), _end_ = (int)(l); i >= _end_; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
using namespace std;

inline bool chkmin(int &a, int b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
inline bool chkmax(int &a, int b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}

inline int read() {
    int x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar() ) if (ch == '-') fh = -1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar() ) x = (x<<1) + (x<<3) + (ch ^ '0');
    return x * fh;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
	freopen ("P2683.in", "r", stdin);
	freopen ("P2683.out", "w", stdout);
#endif
}

int n;

const int N = 800100;
struct Opt {
	int x, y, type, id, val;
	inline bool operator < (const Opt &rhs) const {
		return (x ^ rhs.x) ? x < rhs.x : type < rhs.type;
	}
};
Opt lt[N], tmp[N];

#define lowbit(x) (x & -(x))
struct Fenwick_Tree {
	int c[500100];
	inline void Add(int pos, int val) { for (; pos <= n; pos += lowbit(pos) ) c[pos] += val; }
	inline int Sum(int pos) { int res = 0; for (; pos; pos -= lowbit(pos) ) res += c[pos]; return res; }
	inline void Clear(int pos) { for (; pos <= n; pos += lowbit(pos) ) if (c[pos]) c[pos] = 0; else break; }
};
Fenwick_Tree T;

int ans[N];

void Cdq(int l, int r) {
	if (l == r) return ;
	int mid = (l + r) >> 1;
	Cdq(l, mid); Cdq(mid + 1, r);
	int lp = l, rp = mid + 1, o = l;
	while (lp <= mid && rp <= r) {
		if (lt[lp] < lt[rp]) {
			if (lt[lp].type == 1) T.Add(lt[lp].y, lt[lp].val);
			tmp[o ++] = lt[lp ++];
		} else {
			if (lt[rp].type == 2) ans[lt[rp].id] += lt[rp].val * T.Sum(lt[rp].y);
			tmp[o ++] = lt[rp ++];
		}
	}

	while (lp <= mid) tmp[o ++] = lt[lp ++];
	while (rp <= r) {
		if (lt[rp].type == 2) ans[lt[rp].id] += lt[rp].val * T.Sum(lt[rp].y);
		tmp[o ++] = lt[rp ++];
	}

	For (i, l, mid) if (lt[i].type == 1) T.Clear(lt[i].y);
	For (i, l, r) lt[i] = tmp[i];
}

int qcnt, acnt;
inline void Addq(int x, int y, int type, int id, int val) {
	lt[++qcnt] = (Opt){x, y, type, id, val};
}

int main () {
	File() ;
	n = read();
	for (;;) {
		int opt = read();
		if (opt == 3) break ;
		int xa, ya, xb, yb, val;
		if (opt == 1) {
			xa = read(); ya = read(); val = read();
			Addq(xa, ya, 1, 0, val);
		} else {
			xa = read(); ya = read();
			xb = read(); yb = read();
			Addq(xa - 1, ya - 1, 2, (++ acnt), 1);
			Addq(xa - 1, yb, 2, acnt, -1);
			Addq(xb, ya - 1, 2, acnt, -1);
			Addq(xb, yb, 2, acnt, 1);
		}
	}
	Cdq(1, qcnt);
	For (i, 1, acnt) printf ("%d\n", ans[i]);
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：zjp_shadow
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