乘法逆元
乘法逆元小结
乘法逆元，一般用于求 $$\frac{a}{b} \pmod p$$ 的值（\(p\) 通常为质数），是解决模意义下分数数值的必要手段。
逆元定义
若\(a*x\equiv1 \pmod {b}\)，且\(a\)与\(b\)互质，那么我们就能定义:
\(x\) 为 \(a\) 的逆元，记为\(a^{-1}\)，所以我们也可以称 \(x\) 为 \(a\) 在 \(\bmod b\) 意义下的倒数，
所以对于 \(\displaystyle\frac{a}{b} \pmod {p}\) ，我们就可以求出 \(b\) 在 \(\bmod {p}\) 下的逆元，然后乘上 \(a\) ，再 \(\bmod {p}\)，就是这个分数的值了。
求解逆元的方式
拓展欧几里得
这个方法十分容易理解，而且对于单个查找效率似乎也还不错，比后面要介绍的大部分方法都要快(尤其对于 \(\bmod {p}\) 比较大的时候)。
这个就是利用拓欧求解 线性同余方程 \(a*x \equiv c \pmod {b}\) 的\(c=1\)的情况。我们就可以转化为解 \(a*x + b*y = 1\) 这个方程。
求解这个方程的解。不会拓欧可以点这里~
而且这个做法还有个好处在于，当 \(a \bot p\) （互质），但 \(p\) 不是质数的时候也可以使用。
代码比较简单：
void Exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
if (!b) x = 1, y = 0;
else Exgcd(b, a % b, y, x), y -= a / b * x;
}
int main() {
ll x, y;
Exgcd (a, p, x, y);
x = (x % p + p) % p;
printf ("%d\n", x); //x是a在mod p下的逆元
}
快速幂
这个做法要利用 费马小定理
若\(p\)为素数，\(a\)为正整数，且\(a\)、\(p\)互质。
则有\(a^{p-1} \equiv 1 (\bmod {p})\)。
这个我们就可以发现它这个式子右边刚好为 \(1\) 。
所以我们就可以放入原式，就可以得到：
所以我们可以用快速幂来算出 \(a^{p-2} \pmod p\)的值，这个数就是它的逆元了
代码也很简单：
ll fpm(ll x, ll power, ll mod) {
x %= mod;
ll ans = 1;
for (; power; power >>= 1, (x *= x) %= mod)
if(power & 1) (ans *= x) %= mod;
return ans;
}
int main() {
ll x = fpm(a, p - 2, p); //x为a在mod p意义下的逆元
}
线性算法
用于求一连串数字对于一个\(\bmod p\)的逆元。洛谷P3811
只能用这种方法，别的算法都比这些要求一串要慢。
首先我们有一个,\(1^{-1}\equiv 1 \pmod p\)
然后设 \(p=k*i+r,(1<r<i<p)\) 也就是 \(k\) 是 \(p / i\) 的商，\(r\) 是余数 。
再将这个式子放到\(\pmod p\)意义下就会得到：
然后乘上\(i^{-1}\),\(r^{-1}\)就可以得到:
于是，我们就可以从前面推出当前的逆元了。
代码也很短：
inv[1] = 1;
for(int i = 1; i < p; ++ i)
inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;
阶乘逆元 \(O(n)\) 求
因为有如下一个递推关系。
\(\displaystyle inv[i+1]=\frac{1}{(i+1)!}\)
\(\displaystyle inv[i+1]*(i+1)=\frac{1}{i!}=inv[i]\)
所以我们可以求出\(n!\)的逆元，然后逆推，就可以求出\(1...n!\)所有的逆元了。
递推式为
\(inv[i+1]*(i+1)=inv[i]\)
所以我们可以求出 \(\displaystyle \forall i, i!,\frac{1}{i!}\) 的取值了。
然后这个也可以导出 \(\displaystyle \frac{1}{i} \pmod p\) 的取值，也就是
具体实现可以参考我这发提交（卡了常。。）
