[POJ2115]C Looooops 拓展欧几里得

这个题要找到本身的模型就行了

a+c*x=b(mod 2^k) -> c*x+2^k*y=b-a

求这个方程对于x,y有没有整数解.

如果没有学过，强烈建议看看我之后写的一篇博客！！

这个只要学过拓展欧几里得（好像有的叫扩展欧几里德QAQ）（求解一次整数方程的整数解）应该是能做出来的，下面简单讲讲

已知一组二元一次方程 ax+by=c(a,b为已知;x,y未知) 我们要求x和y的整数解。
这个咋做呢首先我们知道 gcd(a,b)=gcd(b,a%b)这个就是朴素欧几里德(辗转相除) ，又知道一个方程ax+by=gcd(a,b)必有解（通过贝祖定理可知（我也不会证明QAQ））。
这些证明见《数学一本通》或者百度搜搜。
然后我们就有 ax+by=gcd(a,b)=gcd(b, a%b)
=bx+(a%b)y
=bx+(a-[a/b]*b)y
=bx+ay-[a/b]*by
=y*a+(x-[a/b]*y)*b
最后x变成了y，y变成了x-[a/b]*y
然后就可以通过不断递归求gcd来减小a,b的范围，到b为0时就有ax+0*y=a。x显然为1，y为0。
在找到最小解之后，递归回去修改x,y。

当且仅当gcd(a,b)=1这个方程有解。

一开始对于ax+by=c这种形式的，最好先约去(a,b)的gcd,最后再给c乘回来。

这个程序最后对于sum进行了操作，这是因为要求sum的最小正整数解。

这是因为：得到两个相邻x解的间隔恰好为b（这个比较显然的吧。。QwQ），然后最小正整数的x解就为(x%b+b）了2333。（公式没用LaTeX有点丑TAT）

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <iostream>
#define For(i, l, r) for(int i = (l); i <= (int)(r); ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(int i = (r); i >= (int)(l); --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define LL long long

using namespace std;

LL extended_gcd (LL a, LL b, LL &x, LL &y) {
    LL ret, tmp;
    if (!b) {x = 1; y = 0; return a;}
    ret = extended_gcd (b, a%b, x, y);
    tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - a / b * y;
    return ret;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen ("program.in", "r", stdin);
    freopen ("program.out", "w", stdout);
#endif
    LL a, b, c, k;
    for(;;) {
        scanf ("%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &c, &k);
        if (!a && !b && !c && !k) return 0;
        k = (long long) 1 << k;
        LL x, y;
        LL ret = extended_gcd (c, k, x, y); //进行拓欧，求之前写的那个方程有无解
        if ((b - a) % ret != 0) {printf ("FOREVER\n"); continue;} //判断gcd是否为1，判断有无解
        LL sum = (x * (b - a) / ret) % k; //同比扩大的倍数
        sum = (sum % (k / ret) + k / ret) % (k / ret); //求sum的正整数解
        cout << sum << endl;
    }
}

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本文作者：zjp_shadow
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