第四章 向量空间

4.1 向量空间的定义和例子

定义 4.1.1

定义 \(V\) 是 \(\mathbb F\) 上一个 向量空间、线性空间 ，此时 \(V\) 中元素称为 向量，然后定义 零向量、负向量 。（在上面定义了 加法、数乘 ）

例 4.1.2

• \(\mathbb F^n, M_{m,n}(\mathbb F), \mathrm{Hom}_{\mathbb F}(\mathbb F^n, \mathbb F^m)\) 是向量空间
• \(\mathbb F\) 是向量空间，若 \(\mathbb K\) 也是数域且 \(\mathbb F \subseteq \mathbb K\) 那么 \(\mathbb K\) 是 \(\mathbb F\) 上的一个向量空间（数乘的数在 \(\mathbb F\) 中）。（如 \(\mathbb C, \mathbb R\) 是 \(\mathbb Q\) 上的向量空间）
• \(\mathbb F_n[x]\) （关于 \(x\) 次数 \(\le n\) 的多项式集合）是向量空间
• \(C([a, b])\) （ \([a, b]\) 上连续实函数），\(D([a, b])\) （ \([a, b]\) 上所有可微实函数）是 \(\mathbb R\) 上向量空间
• 收敛到 \(0\) 的实数无穷数列集合
• 手动定义加法和数乘的映射 \(\mathbb F^{X}\) 是向量空间
• 定义 \(\mathbb R^+\) 上加法 \(ab\) 数乘 \(a^k\) 为 \(\mathbb R\) 上向量空间
• 只含零向量空间为零空间

定义 4.1.3

若 \(V\) 的非空子集 \(W\) 满足加法和数乘封闭，那么 \(W\) 是 \(V\) 的一个子空间。

• \(\{0\}\) 和 \(V\) 称为平凡子空间
• \(W\) 是子空间当且仅当 \(k\alpha + l\beta \in W(\forall \alpha, \beta \in W, k, l \in \mathbb F)\)

4.2 向量的线性相关性，基与维数

可以把 \(1.3\) 的结论推广到任意向量空间，证明也可以一字不动搬过来

定义线性表示、线性相关、线性无关，以及两个向量组的等价关系。

定理 4.2.1(Steinitz Exchange Lemma)

同 \(1.3. 11\)

推论 4.2.2

若 \(V\) 中两个线性无关向量组等价，则元素个数一样。

定义 4.2.3

定义线性无（相）关子集和基。（任意有限个互不相同的向量总是线性无关的子集和）

注记 4.2.4

\(\emptyset\) 看做零空间向量的基。

例 4.2.5

• 把 \(\mathbb C\) 看做 \(\mathbb R\) 上一个向量空间，那么 \(\{1, i\}\) 是一个基。
• \(V = \mathbb F[x]\) 的一个基为 \(\mathcal B = \{1, x, x^2, \dots, x^n, \dots\}\) 。
• \(\{1, x, x^2, \dots, x^n, \dots\}\) 为 \(C[a, b](a < b)\) 的一个线性无关子集，\(\{e^{nx}| n \ge 0\}\) 也是一个线性无关子集。

• \[\delta_x: X \to \mathbb F, y \mapsto \begin{cases} 1, & y = x\\ 0, & y \not= x\end{cases} \]
  有 \(\mathcal B = \{\delta_x | x \in X\}\) 是 \(\mathbb F^{(X)}\) 的一个基。

定义 4.2.6

若 \(V\) 存在一个有限子集 \(S = \{\alpha_1, \dots, \alpha_m\}\) 使得 \(V = \mathcal L(S)\) 那么称 \(V\) 是有限维的。

注记 4.2.7

若 \(V\) 是个无限维向量空间，那么 \(\forall n \in \mathbb N^*\)， \(V\) 中都存在 \(n\) 个线性无关的向量。

定义 4.2.8

定义集合 \(S\) 的极大（线性）无关组。

命题 4.2.9

\(S\) 为 \(V\) 的一个含有非零向量的向量组，那么 \(S\) 一定有极大线性无关组，且任意两个极大无关组所含向量个数相同。

定理 4.2.10

设 \(V\) 是一个有限维向量空间，则 \(V\) 一定有基，并且它任意两个基所含向量个数相等。（可推广到无限维向量空间）

定义 4.2.11

设 \(V\) 是一个有限维向量空间且 \(\mathcal B\) 是 \(V\) 的一个基，那么称 \(|B\) 是 \(V\) 的维数，记作 \(\mathrm{dim}_{\mathbb F} = |\mathcal B|\) 。 若 \(V\) 为无限维则 \(\mathrm{dim}_{\mathbb F} = \infty\) 。

命题 4.2.12

设 \(V\) 是一个 \(n\) 维向量空间，那么任意 \(n + 1\) 个向量线性无关。

命题 4.2.13

设 \(V\) 是一个有限维向量空间，那么 \(V\) 中任意一个线性无关组向量都可以扩充成 \(V\) 的一个基。

推论 4.2.14

设 \(W\) 是有限维向量 \(V\) 的一个子空间，则 \(W\) 是有限维的，并且 \(W\) 的基总可以扩充成 \(V\) 的一个基。特别地 \(\mathrm {dim}_{\mathbb F} W \le \mathrm {dim}_{\mathbb F} V\)

4.3 坐标与基变化

若 \(\alpha = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \dots + x_n \alpha_n\) 称 \((x_1, x_2, \dots, x_n)\) 是
\(\alpha\) 在基 \(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\}\) 下的坐标或坐标向量。

若对于任意一组数 \(k_1, k_2, \dots, k_m \in \mathbb F\) 总有

\[k_1 \xi_1 + k_2 \xi_2 + \dots + k_m \xi_m = 0 \Leftrightarrow k_1 \eta_1 + k_2 \eta_2 + \dots + k_m \eta_m = 0 \]

因此总有 \(\mathrm r(\{\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_m\}) = \mathrm r(\{\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_m\})\)

定义 4.3.1

定义基 \(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\}\) 到基 \(\{\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n\}\) 的过渡矩阵 \(A\) 有

\((\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n) = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) A\)

例 4.3.2

在平面上 \(V_2\) 上取两个正交的单位向量 \(\alpha_1, \alpha_2\) 它们构成 \(V_2\) 的一个基，则转 \(\theta\) 角得到 \(\alpha_1', \alpha_2'\) 那么 \(\{\alpha_1', \alpha_2'\}\) 也是一个基，则过渡矩阵为

\[\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \]

定理 4.3.3

\(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\}\) 到基 \(\{\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n\}\) 的过渡矩阵为 \(A\) ；
\(\{\beta, \beta_2, \dots, \beta_n\}\) 到基 \(\{\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_n\}\) 的过渡矩阵为 \(B\) ；
则
\(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\}\) 到基 \(\{\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_n\}\) 的过渡矩阵为 \(AB\) 。

定理 4.3.4

• 过渡矩阵可逆，逆矩阵为反过来的过渡矩阵
• 若 \(A\) 为 \(n\) 阶可逆矩阵，且 \(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\}\) 为基且 \((\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n) = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) A\) 那么 \(\{\beta, \beta_2, \dots, \beta_n\}\) 也是基，且 \(A\) 为过渡矩阵

4.4 子空间的交与和，商空间

\(V\) 是 \(\mathbb F\) 上一个向量空间，且 \(V_1, V_2\) 是 \(V\) 的子空间，那么 \(V_1 \cap V_2\) 是 \(V\) 的子空间。

\(V_1 + V_2 = \{\alpha_1 + \alpha_2 ~|~ \alpha_1 \in V_1, \alpha_2 \in V_2\}\) 为 \(V_1, V_2\) 的和，也为 \(V\) 的子空间。

\(V_1 + V_2 + \dots + V_s = \mathcal L(V_1 \cup V_2 \cup \dots \cup V_s)\)

即 \(V_1 + V_2 + \dots + V_s\) 为包含 \(V_1, V_2, \dots, V_s\) 的最小子空间。

注记 4.4.1

\[\bigcap_{i \in I} V_i = \{\alpha \in W | \alpha \in V_i, \forall i \in I\}\\ \sum_{i \in I} V_i = \mathcal L(\cup_{i \in I} V_i) = \{\alpha_1 + \cdots + \alpha_m\} \]

定理 4.4.3

\(V_1, V_2\) 为 \(V\) 的两个有限维子空间，则

\[\mathrm{dim}(V_1 + V_2) = \mathrm{dim} V_1 + \mathrm{dim} V_2 - \mathrm{dim}(V_1 \cap V_2) \]

考虑把 \(V_1, V_2, V_1 \cap V_2\) 的基表示出来，然后就证他们并后的基线性无关即可。那个考虑反证法，可以逐次倒退出系数全为 \(0\) 。

定义 4.4.4

设 \(V_1, V_2, \dots, V_m\) 为 \(V\) 的 \(m\) 个子空间，若 \(\forall 1 \le i \le m\) 有

\[V_i \cap (V_1 + \cdots + V_{i- 1} + V_{i + 1}) \]

则称 \(V_1 + V_2 + \cdots + V_m\) 为直和，记作

\[V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_m \]

定理 4.4.6

设 \(V_1, V_2, \dots, V_m\) 为 \(V\) 的 \(m\) 个有限维子空间，记 \(V = V_1 + V_2 \cdots + V_m\) 则下列命题等价：

• \(W = V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_m\) 是直和
• \(\forall 2 \le i \le m\) 有
  \[V_i \cup (V_1 + \cdots + V_{i - 1}) = 0 \]

• \(\mathrm{dim} W = \mathrm{dim} V_1 + \mathrm{dim} V_2 + \cdots + \mathrm{dim} V_{m}\)
• 若 \(\{\alpha_{i1}, \alpha_{i2}, \dots, \alpha_{it_i}\}\) 为 \(V_i\) 一个基，其中 \(t_i = \mathrm{dim} V_i, i = 1, 2, \dots, m\) 则
  \[\mathcal B = \{\alpha_{ij} | 1 \le i \le m, 1 \le j \le t_i\} \]
  为 \(V\) 的一个基
• \(W\) 中每个向量唯一表示成 \(V_1, V_2, \dots, V_m\) 中向量之和，即若 \(\alpha \in W\) 且
  \[\alpha = \alpha_1 + \dots + \alpha_m = \beta_1 + \dots + \beta_m \]
  其中 \(\alpha_i, \beta_i \in V_i\) 则 \(\alpha_i = \beta_i, \forall 1 \le i \le m\)

推论 4.4.8

\(W\) 是 \(V\) 的一个子空间，则存在 \(V\) 的子空间 \(W'\) 使得 \(V = W \oplus W'\)

我们称上述子空间 \(W'\) 为 \(W\) 的余空间或补空间。

---

设 \(W\) 是 \(V\) 的一个子空间，在 \(V\) 上定义二元关系：

\[\alpha \sim \beta \Leftrightarrow \alpha - \beta \in W \]

称作 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 模 \(W\) 同余，亦记作 \(\alpha \equiv \beta \pmod W\)

对于任意 \(\alpha \in V\) 用 \(\overline \alpha\) 记作 \(\alpha\) 的等价类，即有

\[\overline \alpha = \{\beta \in W | \beta \sim \alpha\} = \{\alpha + \xi | \xi \in W\} =: \alpha + W \]

我们也称 \(\alpha + W\) 是 \(W\) 的一个陪集，用 \(V/W\) 记 \(V\) 中所有等价类（即 \(W\) 的所有陪集）的集合，称 \(V\) 关于子空间 \(W\) 的商集。

进一步，\(V\) 上的加法运算导出一个映射

\[V/W \times V/W \to V \times W\\ (\overline \alpha, \overline \beta) \mapsto \overline {\alpha + \beta} =: \overline \alpha + \overline \beta \]

这个是合理定义的（也就是不取决于代表元的选取）

同时可以定义数乘，也是合理定义的。

综上得到，上述定义的加法和数乘 \(V / W\) 是 \(\mathbb F\) 上的一个向量空间，称为 \(V\) 关于子空间 \(W\) 的商空间。

命题 4.4.9

设 \(W\) 是向量空间 \(V\) 的一个子空间

• 若 \(\alpha_1 + W, \alpha_2 + W, \dots, \alpha_n + W\) 在 \(V / W\) 中线性无关，则 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\) 是 \(V\) 中一个线性无关的向量组。
• 设 \(V / W\) 是有限维的且 \(\alpha_1 + W, \alpha_2 + W, \dots, \alpha_n + W\) 是 \(V / W\) 的一个基，则 \(V = W \oplus U\) ，其中 \(U = \mathcal L(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)\)

进一步 \(W\) 是 \(V\) 的一个子空间，且假设 \(\mathcal X\) 是 \(W\) 的一个基。那么根据命题存在 \(V\) 的一个线性无关子集 \(\mathcal Y\) 使得 \(\mathcal X \cap \mathcal Y = \emptyset\) 且 \(\mathcal B = \mathcal X \cup \mathcal Y\) 有 \(\overline \mathcal B = \{\overline \beta = \beta + W ~|~ \beta \in \mathcal Y\}\) 是 \(V / W\) 的一个基。

因此 \(\mathrm{dim} V / W = \mathrm{dim} V - \mathrm{dim} W\) 此时，我们称 \(\mathrm{dim} V / W\) 是 \(W\) 在 \(V\) 中的余维数。

4.5 向量空间的同构

作为向量空间 \(V\) 与 \(\mathbb F^n\) 的结构是相同的。

定义 4.5.1

设 \(V, W\) 是数域 \(\mathbb F\) 上两个向量空间且 \(\phi: V \to W\) 是个双射。若 \(\forall \alpha, \beta \in W, k \in \mathbb F\) 有

\[\phi(\alpha + \beta) = \phi(\alpha) + \phi(\beta), \phi(k \alpha) = k\phi(\alpha) \]

那么称 \(\phi\) 是 \(V\) 到 \(W\) 的一个同构（映射），称 \(V\) 与 \(W\) 是同构的，记作 \(V \cong W\)。

定理 4.5.2

数域 \(\mathbb F\) 上任意一个 \(n\) 维向量空间都与 \(\mathbb F\) 上的 \(n\) 维行（或列）向量空间 \(\mathbb F^n\) 同构。

定理 4.5.3

• \(\phi(0) = 0, \phi(-\alpha) = - \phi(\alpha), \alpha \in W\)
• \(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m \in V\) 线性相关（无关）\(\Leftrightarrow\) \(\phi(\alpha_1), \phi(\alpha_2), \dots, \phi(\alpha_m) \in W\) 线性相关（无关），特别地 \(\mathrm{dim}_{\mathbb F} V < \infty \Leftrightarrow \mathrm{dim}_{\mathbb F} W < \infty\)
• \(\phi^{-1}: W \to V\) 也为同构

命题 4.5.4

向量空间的同构是一个等价关系。

推论 4.5.5

数域 \(\mathbb F\) 上两个有限维向量空间同构的充要条件是它们的维数相同。

充分性：证明原来的基映射后可以直接成为新的基。

必要性：\(V \cong \mathbb F^n \cong W\)

命题 4.5.6

设 \(U, W\) 是 \(V\) 的子空间且 \(V = U \oplus W\) 则 \(U \cong V / W\) 。