第四章 向量空间

4.1 向量空间的定义和例子

定义 4.1.1

定义 $V$ 是 $\mathbb F$ 上一个 向量空间、线性空间 ，此时 $V$ 中元素称为 向量，然后定义 零向量、负向量 。（在上面定义了 加法、数乘 ）

例 4.1.2

• $\mathbb F^n, M_{m,n}(\mathbb F), \mathrm{Hom}_{\mathbb F}(\mathbb F^n, \mathbb F^m)$ 是向量空间
• $\mathbb F$ 是向量空间，若 $\mathbb K$ 也是数域且 $\mathbb F \subseteq \mathbb K$ 那么 $\mathbb K$ 是 $\mathbb F$ 上的一个向量空间（数乘的数在 $\mathbb F$ 中）。（如 $\mathbb C, \mathbb R$ 是 $\mathbb Q$ 上的向量空间）
• $\mathbb F_n[x]$ （关于 $x$ 次数 $\le n$ 的多项式集合）是向量空间
• $C([a, b])$ （ $[a, b]$ 上连续实函数），$D([a, b])$ （ $[a, b]$ 上所有可微实函数）是 $\mathbb R$ 上向量空间
• 收敛到 $0$ 的实数无穷数列集合
• 手动定义加法和数乘的映射 $\mathbb F^{X}$ 是向量空间
• 定义 $\mathbb R^+$ 上加法 $ab$ 数乘 $a^k$ 为 $\mathbb R$ 上向量空间
• 只含零向量空间为零空间

定义 4.1.3

若 $V$ 的非空子集 $W$ 满足加法和数乘封闭，那么 $W$ 是 $V$ 的一个子空间。

• $\{0\}$ 和 $V$ 称为平凡子空间
• $W$ 是子空间当且仅当 $k\alpha + l\beta \in W(\forall \alpha, \beta \in W, k, l \in \mathbb F)$

4.2 向量的线性相关性，基与维数

可以把 $1.3$ 的结论推广到任意向量空间，证明也可以一字不动搬过来

定义线性表示、线性相关、线性无关，以及两个向量组的等价关系。

定理 4.2.1(Steinitz Exchange Lemma)

同 $1.3. 11$

推论 4.2.2

若 $V$ 中两个线性无关向量组等价，则元素个数一样。

定义 4.2.3

定义线性无（相）关子集和基。（任意有限个互不相同的向量总是线性无关的子集和）

注记 4.2.4

$\emptyset$ 看做零空间向量的基。

例 4.2.5

• 把 $\mathbb C$ 看做 $\mathbb R$ 上一个向量空间，那么 $\{1, i\}$ 是一个基。
• $V = \mathbb F[x]$ 的一个基为 $\mathcal B = \{1, x, x^2, \dots, x^n, \dots\}$ 。
• $\{1, x, x^2, \dots, x^n, \dots\}$ 为 $C[a, b](a < b)$ 的一个线性无关子集，$\{e^{nx}| n \ge 0\}$ 也是一个线性无关子集。

• $$\delta_x: X \to \mathbb F, y \mapsto \begin{cases} 1, & y = x\\ 0, & y \not= x\end{cases}$$
  有 $\mathcal B = \{\delta_x | x \in X\}$ 是 $\mathbb F^{(X)}$ 的一个基。

定义 4.2.6

若 $V$ 存在一个有限子集 $S = \{\alpha_1, \dots, \alpha_m\}$ 使得 $V = \mathcal L(S)$ 那么称 $V$ 是有限维的。

注记 4.2.7

若 $V$ 是个无限维向量空间，那么 $\forall n \in \mathbb N^*$， $V$ 中都存在 $n$ 个线性无关的向量。

定义 4.2.8

定义集合 $S$ 的极大（线性）无关组。

命题 4.2.9

$S$ 为 $V$ 的一个含有非零向量的向量组，那么 $S$ 一定有极大线性无关组，且任意两个极大无关组所含向量个数相同。

定理 4.2.10

设 $V$ 是一个有限维向量空间，则 $V$ 一定有基，并且它任意两个基所含向量个数相等。（可推广到无限维向量空间）

定义 4.2.11

设 $V$ 是一个有限维向量空间且 $\mathcal B$ 是 $V$ 的一个基，那么称 $|B$ 是 $V$ 的维数，记作 $\mathrm{dim}_{\mathbb F} = |\mathcal B|$ 。 若 $V$ 为无限维则 $\mathrm{dim}_{\mathbb F} = \infty$ 。

命题 4.2.12

设 $V$ 是一个 $n$ 维向量空间，那么任意 $n + 1$ 个向量线性无关。

命题 4.2.13

设 $V$ 是一个有限维向量空间，那么 $V$ 中任意一个线性无关组向量都可以扩充成 $V$ 的一个基。

推论 4.2.14

设 $W$ 是有限维向量 $V$ 的一个子空间，则 $W$ 是有限维的，并且 $W$ 的基总可以扩充成 $V$ 的一个基。特别地 $\mathrm {dim}_{\mathbb F} W \le \mathrm {dim}_{\mathbb F} V$

4.3 坐标与基变化

若 $\alpha = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \dots + x_n \alpha_n$ 称 $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 是
$\alpha$ 在基 $\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\}$ 下的坐标或坐标向量。

若对于任意一组数 $k_1, k_2, \dots, k_m \in \mathbb F$ 总有

$$k_1 \xi_1 + k_2 \xi_2 + \dots + k_m \xi_m = 0 \Leftrightarrow k_1 \eta_1 + k_2 \eta_2 + \dots + k_m \eta_m = 0$$

因此总有 $\mathrm r(\{\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_m\}) = \mathrm r(\{\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_m\})$

定义 4.3.1

定义基 $\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\}$ 到基 $\{\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n\}$ 的过渡矩阵 $A$ 有

$(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n) = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) A$

例 4.3.2

在平面上 $V_2$ 上取两个正交的单位向量 $\alpha_1, \alpha_2$ 它们构成 $V_2$ 的一个基，则转 $\theta$ 角得到 $\alpha_1', \alpha_2'$ 那么 $\{\alpha_1', \alpha_2'\}$ 也是一个基，则过渡矩阵为

$$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$$

定理 4.3.3

$\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\}$ 到基 $\{\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n\}$ 的过渡矩阵为 $A$ ；
$\{\beta, \beta_2, \dots, \beta_n\}$ 到基 $\{\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_n\}$ 的过渡矩阵为 $B$ ；
则
$\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\}$ 到基 $\{\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_n\}$ 的过渡矩阵为 $AB$ 。

定理 4.3.4

• 过渡矩阵可逆，逆矩阵为反过来的过渡矩阵
• 若 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，且 $\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\}$ 为基且 $(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n) = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) A$ 那么 $\{\beta, \beta_2, \dots, \beta_n\}$ 也是基，且 $A$ 为过渡矩阵

4.4 子空间的交与和，商空间

$V$ 是 $\mathbb F$ 上一个向量空间，且 $V_1, V_2$ 是 $V$ 的子空间，那么 $V_1 \cap V_2$ 是 $V$ 的子空间。

$V_1 + V_2 = \{\alpha_1 + \alpha_2 ~|~ \alpha_1 \in V_1, \alpha_2 \in V_2\}$ 为 $V_1, V_2$ 的和，也为 $V$ 的子空间。

$V_1 + V_2 + \dots + V_s = \mathcal L(V_1 \cup V_2 \cup \dots \cup V_s)$

即 $V_1 + V_2 + \dots + V_s$ 为包含 $V_1, V_2, \dots, V_s$ 的最小子空间。

注记 4.4.1

$$\bigcap_{i \in I} V_i = \{\alpha \in W | \alpha \in V_i, \forall i \in I\}\\ \sum_{i \in I} V_i = \mathcal L(\cup_{i \in I} V_i) = \{\alpha_1 + \cdots + \alpha_m\}$$

定理 4.4.3

$V_1, V_2$ 为 $V$ 的两个有限维子空间，则

$$\mathrm{dim}(V_1 + V_2) = \mathrm{dim} V_1 + \mathrm{dim} V_2 - \mathrm{dim}(V_1 \cap V_2)$$

考虑把 $V_1, V_2, V_1 \cap V_2$ 的基表示出来，然后就证他们并后的基线性无关即可。那个考虑反证法，可以逐次倒退出系数全为 $0$ 。

定义 4.4.4

设 $V_1, V_2, \dots, V_m$ 为 $V$ 的 $m$ 个子空间，若 $\forall 1 \le i \le m$ 有

$$V_i \cap (V_1 + \cdots + V_{i- 1} + V_{i + 1})$$

则称 $V_1 + V_2 + \cdots + V_m$ 为直和，记作

$$V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_m$$

定理 4.4.6

设 $V_1, V_2, \dots, V_m$ 为 $V$ 的 $m$ 个有限维子空间，记 $V = V_1 + V_2 \cdots + V_m$ 则下列命题等价：

• $W = V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_m$ 是直和
• $\forall 2 \le i \le m$ 有
  $$V_i \cup (V_1 + \cdots + V_{i - 1}) = 0$$

• $\mathrm{dim} W = \mathrm{dim} V_1 + \mathrm{dim} V_2 + \cdots + \mathrm{dim} V_{m}$
• 若 $\{\alpha_{i1}, \alpha_{i2}, \dots, \alpha_{it_i}\}$ 为 $V_i$ 一个基，其中 $t_i = \mathrm{dim} V_i, i = 1, 2, \dots, m$ 则
  $$\mathcal B = \{\alpha_{ij} | 1 \le i \le m, 1 \le j \le t_i\}$$
  为 $V$ 的一个基
• $W$ 中每个向量唯一表示成 $V_1, V_2, \dots, V_m$ 中向量之和，即若 $\alpha \in W$ 且
  $$\alpha = \alpha_1 + \dots + \alpha_m = \beta_1 + \dots + \beta_m$$
  其中 $\alpha_i, \beta_i \in V_i$ 则 $\alpha_i = \beta_i, \forall 1 \le i \le m$

推论 4.4.8

$W$ 是 $V$ 的一个子空间，则存在 $V$ 的子空间 $W'$ 使得 $V = W \oplus W'$

我们称上述子空间 $W'$ 为 $W$ 的余空间或补空间。

---

设 $W$ 是 $V$ 的一个子空间，在 $V$ 上定义二元关系：

$$\alpha \sim \beta \Leftrightarrow \alpha - \beta \in W$$

称作 $\alpha$ 与 $\beta$ 模 $W$ 同余，亦记作 $\alpha \equiv \beta \pmod W$

对于任意 $\alpha \in V$ 用 $\overline \alpha$ 记作 $\alpha$ 的等价类，即有

$$\overline \alpha = \{\beta \in W | \beta \sim \alpha\} = \{\alpha + \xi | \xi \in W\} =: \alpha + W$$

我们也称 $\alpha + W$ 是 $W$ 的一个陪集，用 $V/W$ 记 $V$ 中所有等价类（即 $W$ 的所有陪集）的集合，称 $V$ 关于子空间 $W$ 的商集。

进一步，$V$ 上的加法运算导出一个映射

$$V/W \times V/W \to V \times W\\ (\overline \alpha, \overline \beta) \mapsto \overline {\alpha + \beta} =: \overline \alpha + \overline \beta$$

这个是合理定义的（也就是不取决于代表元的选取）

同时可以定义数乘，也是合理定义的。

综上得到，上述定义的加法和数乘 $V / W$ 是 $\mathbb F$ 上的一个向量空间，称为 $V$ 关于子空间 $W$ 的商空间。

命题 4.4.9

设 $W$ 是向量空间 $V$ 的一个子空间

• 若 $\alpha_1 + W, \alpha_2 + W, \dots, \alpha_n + W$ 在 $V / W$ 中线性无关，则 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 是 $V$ 中一个线性无关的向量组。
• 设 $V / W$ 是有限维的且 $\alpha_1 + W, \alpha_2 + W, \dots, \alpha_n + W$ 是 $V / W$ 的一个基，则 $V = W \oplus U$ ，其中 $U = \mathcal L(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$

进一步 $W$ 是 $V$ 的一个子空间，且假设 $\mathcal X$ 是 $W$ 的一个基。那么根据命题存在 $V$ 的一个线性无关子集 $\mathcal Y$ 使得 $\mathcal X \cap \mathcal Y = \emptyset$ 且 $\mathcal B = \mathcal X \cup \mathcal Y$ 有 $\overline \mathcal B = \{\overline \beta = \beta + W ~|~ \beta \in \mathcal Y\}$ 是 $V / W$ 的一个基。

因此 $\mathrm{dim} V / W = \mathrm{dim} V - \mathrm{dim} W$ 此时，我们称 $\mathrm{dim} V / W$ 是 $W$ 在 $V$ 中的余维数。

4.5 向量空间的同构

作为向量空间 $V$ 与 $\mathbb F^n$ 的结构是相同的。

定义 4.5.1

设 $V, W$ 是数域 $\mathbb F$ 上两个向量空间且 $\phi: V \to W$ 是个双射。若 $\forall \alpha, \beta \in W, k \in \mathbb F$ 有

$$\phi(\alpha + \beta) = \phi(\alpha) + \phi(\beta), \phi(k \alpha) = k\phi(\alpha)$$

那么称 $\phi$ 是 $V$ 到 $W$ 的一个同构（映射），称 $V$ 与 $W$ 是同构的，记作 $V \cong W$。

定理 4.5.2

数域 $\mathbb F$ 上任意一个 $n$ 维向量空间都与 $\mathbb F$ 上的 $n$ 维行（或列）向量空间 $\mathbb F^n$ 同构。

定理 4.5.3

• $\phi(0) = 0, \phi(-\alpha) = - \phi(\alpha), \alpha \in W$
• $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m \in V$ 线性相关（无关）$\Leftrightarrow$ $\phi(\alpha_1), \phi(\alpha_2), \dots, \phi(\alpha_m) \in W$ 线性相关（无关），特别地 $\mathrm{dim}_{\mathbb F} V < \infty \Leftrightarrow \mathrm{dim}_{\mathbb F} W < \infty$
• $\phi^{-1}: W \to V$ 也为同构

命题 4.5.4

向量空间的同构是一个等价关系。

推论 4.5.5

数域 $\mathbb F$ 上两个有限维向量空间同构的充要条件是它们的维数相同。

充分性：证明原来的基映射后可以直接成为新的基。

必要性：$V \cong \mathbb F^n \cong W$

命题 4.5.6

设 $U, W$ 是 $V$ 的子空间且 $V = U \oplus W$ 则 $U \cong V / W$ 。

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本文作者：zjp_shadow
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