第三章 行列式

3.1 二阶和三阶行列式

简单介绍了下二元、三元一次方程组的求法，然后引入了行列式。

3.2 n阶行列式的定义与基本性质

定义余子式和代数余子式。

定义行列式 $|A| = \mathrm{det} A = \sum\limits_{i = 1}^n (-1)^{i + 1} a_{i1}M_{i1} = \sum\limits_{i = 1}^n a_{i1}A_{i1}$

注记 3.2.2

有函数 $\mathrm{det} : M_n(\mathbb F) \to \mathbb F, A \mapsto \mathrm{det} A = |A|$

命题 3.2.3

设 $A$ 为上三角矩阵，则 $|A|$ 等于主对角元素的乘积。特别地 $|I_n| = 1$ 。

由定义可证。

命题 3.2.4

$A$ 为 $n$ 阶方阵且 $B$ 是将 $A$ 第 $s$ 行元素乘以数 $c$ 得到的矩阵，则 $|B| = c|A|$ 。

用数学归纳法，然后展开看系数。

推论 3.2.5

若 $n$ 阶矩阵 $A$ 某行为 $0$ 则 $|A| = 0$

注记 3.2.6

$|cA| = c^n|A|$

命题 3.2.7

设 $B$ 通过交换 $A$ 两个不同行得到矩阵，则 $|B| = -|A|$ 。

考虑归纳法，然后考虑交换相邻两行，再推广。

推论 3.2.8

若两行完全相同或者成比例则 $|A| = 0$ 。

命题 3.2.9

对 $A, B, C$ 三个 $n$ 阶方阵，若给定 $1 \le s \le n$ 若 $c_{sj} = a_{sj} +b_{sj}$ 其余位置 $a_{ij} = b_{ij} = c_{ij}$ 那么 $|C| = |A| + |B|$ 。

还是归纳法，然后展开的时候考虑一下两种项即可。

注记 3.2.10

一般来说 $|A + B| = |A| + |B|$ 不成立。

推论 3.2.11

设 $B$ 是将 $A$ 将第 $i$ 行元素乘以 $c$ 加到第 $j$ 行 $(i \not= j)$ 上所得到的的矩阵，有 $|B| = |A|$ 。

综上，我们得到了 $|P_{ij}A| = -|A|, |D_i(c)A| = c|A|, |T_{ij}(c) A| = |A|$ ，对于列变换也一样（考虑转置即可）

引理 3.2.12

• 若 $D = \mathrm{diag}(d_1, \dots, d_n)$ 则 $|DA| = d_1 \cdots d_n |A|$ 。
• $A$ 可以通过第三类初等变换变成 $\mathrm{diag}(d_1, \dots, d_n)$ 且 $|A| = d_1 \cdots d_n$ 。

定理 3.2.13

$|A^T| = |A|$

考虑把 $A$ 化成第三类初等矩阵和对角矩阵的乘积。

定理 3.2.14

$|AB| = |A||B|$

同 定理3.2.13 证明即可。

推论 3.2.15

$|A|$ 可逆 $\Leftrightarrow |A| \not= 0$

而且此时有 $|A^{-1}| = |A|^{-1}$

$\Rightarrow: |A||A^-1| = |I_n| = 1$

$\Leftarrow:$ 可化成对角矩阵，然后 $\mathrm r(A) = n$ 即可

注记 3.2.16

$|A| \not = 0$ 则 $A$ 非奇异；$|A| = 0$ 则 $A$ 奇异。

定义 $s$ 阶子式 。

命题 3.2.17

$\mathrm r = \mathrm r(A)$ 当且仅当 $A$ 有一个非零的 $r$ 阶子式，且所有的 $r+1$ 阶子式全为 $0$ 。

先证如果存在一个非零的 $r$ 阶子式 $\mathrm r(A) \ge r$ ，然后考虑反证法即可。

3.3 行列式的展开和Cramer法则

定理 3.3.1

$$\sum_{i = 1}^n a_{is}A_{it} = [s = t]|A| = \sum_{i = 1}^n a_{si} A_{ti}$$

只需考虑一半，另外一半用转置即可。

首先证明 $s = t$ 的情况，可考虑交换两列后，利用定义证。

对于 $s \not = t$ 时候，考虑把第 $t$ 列用第 $s$ 列替换，然后不难发现新矩阵行列式即这个求和式，显然为 $0$ .

我们称

$$A^* = \begin{pmatrix} A_{11} &A_{21} &\cdots &A_{n1}\\ A_{12} &A_{22} &\cdots &A_{n2}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ A_{1n} &A_{2n} &\cdots &A_{nn} \end{pmatrix}$$

为 $A$ 的伴随矩阵，由上述定理得到 $AA^* = |A|I_n = A^*A$

推论 3.3.2

若 $A$ 可逆，则 $A^{-1} = |A|^{-1} A^*$

定理 3.3.4(Cramer's rule)

若线性方程组的系数矩阵 $A$ 可逆，则方程组有唯一解 $x_i = \frac{D_i}{|A|}$ 。

其中 $D_i = \{\alpha_1, \dots, \alpha_{i - 1}, \beta, \alpha_{i + 1}, \dots, \alpha_n\}$

证明：
有唯一解 $(x_1 \dots x_n)^T = A^{-1} (b_1 \dots b_n)^T$

由推论可知，$A^{-1} = {|A|}^{-1} A^*$
则 $x_i = {|A|}^{-1} \sum_{A_{ji}}b_j = {|A|}^{-1} D_i$

进行扩展的话，只需要令 $x_{r + 1}, \dots, x_n$ 赋上一组解即可，
然后用这个去代回去。

例 3.3.5

归纳法计算范德蒙德行列式。

例 3.3.6

第一降阶定理

$$\begin{vmatrix} A & B\\ C & D \end{vmatrix} = \begin{cases} |A||D - CA^{-1}B| &若A可逆\\ |D||A - BD^{-1}C| &若D可逆 \end{cases}$$

证明：

$$\begin{pmatrix} I_m & 0\\ -CA^{-1} & I_n\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B\\ C & D\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B\\ 0 & D - CA^{-1}B\\ \end{pmatrix}$$

注记 3.3.7

第一降阶公式

当 $A, D$ 都可逆有

$|D + CA^{-1}B| = |A^{-1}||D||A + BD^{-1} C|$

3.4 行列式的等价定义

定义 3.4.1

定义逆序数，偶排列，奇排列。

定理 3.4.2

$$|A| = \sum_{(i_1, \dots, i_n) \in S_n} (-1)^{\tau(i_1, \dots, i_n)} a_{i_11}a_{i_22}\dots a_{i_nn}$$

证明考虑展开每项，然后将选取的项标成 $1$ ，最后调整成单位矩阵的次数。

推论 3.4.3

$n \ge 2$ 时，奇偶排列各占一半、

证明，取 $a_{ij} = 1$ ，有 $|A| = 0 = \sum_{(i_1, \dots, i_n) \in S_n} (-1)^{\tau(i_1, \dots, i_n)}$

推论 3.4.5

设映射

$$\mathcal D: M_n (\mathbb F) = \underbrace{\mathbb{F}^n \times \cdots \times \mathbb{F}^n}_{n} \to \mathbb F$$

满足

$$\mathcal D(\alpha_1, \dots, \lambda \alpha_i, \dots, \alpha_n) = \mathcal \lambda D(\alpha_1, \dots, \alpha_i, \dots, \alpha_n) \\ \mathcal D(\alpha_1, \dots, \alpha_i + \beta_i, \dots, \alpha_n) = \mathcal D(\alpha_1, \dots, \alpha_i, \dots, \alpha_n) + \mathcal D(\alpha_1, \dots, \beta_i, \dots, \alpha_n) \\ \mathcal D(\alpha_1, \dots, \alpha_i, \dots, \alpha_j, \dots, \alpha_n) = 0 ~若~\alpha_i = \alpha_j(i \not = j)\\ \mathcal D(\textbf e_1, \textbf e_2, \dots, \textbf e_n) = 1$$

则作为 $M_n(\mathbb F) \to \mathbb F$ 的函数 $\mathcal D = \mathrm{det}$ 。

注记 3.4.6

上述 $\mathcal D: M_n(\mathbb F) \to \mathbb F$ 为行列式函数。

引理 3.4.7

排列中交换两个数位置称作对换。

一个排列经过一次对换后奇偶性改变。

首先考虑相邻两个情况，然后推广即可。

命题 3.4.8

推广到 $a_{i_1j_1} a_{i_2j_2} \cdots a_{i_nj_n}$ 的符号为 $(-1)^{\tau(i_1, \dots, i_n) + \tau(j_1, \dots, j_n)}$ 。

3.5 Laplace定理与Cauchy-Binet公式

定义 3.5.1

定义 $A$ 的一个 $s$ 阶子式

$$A \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \dots & i_s\\ j_1 & j_2 & \dots & j_s\end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a_{i_1j_1} &\cdots &a_{i_1j_s}\\ \vdots &\ddots &\vdots\\ a_{i_sj_1} &\cdots &a_{i_sj_s} \end{vmatrix}$$

并且定义其余子式，为划去那些行与列的子式
$M \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \dots & i_s\\ j_1 & j_2 & \dots & j_s\end{pmatrix}$

进一步定义代数余子式

$$\widehat A \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \dots & i_s\\ j_1 & j_2 & \dots & j_s\end{pmatrix} = (-1)^{i_1 + \cdots + i_s + j_1 + \cdots + j_s} M \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \dots & i_s\\ j_1 & j_2 & \dots & j_s\end{pmatrix}$$

定理 3.5.2(Laplace 定理)

取定 $s$ 和 $1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_s \le n$

$$|A| = \sum_{1 \le j_1 < j_2 < \cdots < j_s \le n} A \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \dots & i_s\\ j_1 & j_2 & \dots & j_s\end{pmatrix} \widehat A \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \dots & i_s\\ j_1 & j_2 & \dots & j_s\end{pmatrix}$$

证明的话，每个排列都会被枚举到，那么只需要考虑系数（此处比较复杂）

定理 3.5.4(Cauchy-Binet 公式)

设 $A, B$ 分别为 $m \times n$ 和 $n \times m$ 矩阵

• 若 $m > n$ 则 $|AB| = 0$
• 若 $m \le n$ 则

$$|AB| = \sum_{1 \le j_1 < j_2 < \cdots < j_m \le n} A \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & m\\ j_1 & j_2 & \dots & j_m\end{pmatrix} B \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & \dots & j_m\\ 1 & 2 & \dots & m\end{pmatrix}$$

考虑

$$\begin{vmatrix} A & 0\\ -I_n & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & AB\\ -I_n & B \end{vmatrix}$$

对于右式展开前 $m$ 行之后，考虑系数。对于左式按前 $m$ 行展开，然后余子式，对前 $n - m$ 列展开。最后比较系数

推论 3.5.5

设 $A, B$ 分别为 $m \times n$ 和 $n \times m$ 矩阵，$s \le m$

• 若 $s > n$ 则 $AB$ 所有 $s$ 阶子式为 $0$
• 若 $s \le n$ 则 $AB$ 的 $s$ 阶子式

$$AB \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \dots & i_s\\ j_1 & j_2 & \dots & j_s\end{pmatrix} \\ = \sum_{1 \le k_1 < k_2 < \cdots < k_s \le n} A \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \dots & i_s\\ k_1 & k_2 & \dots & k_s\end{pmatrix} B \begin{pmatrix} k_1 & k_2 & \dots & k_s\\ j_1 & j_2 & \dots & j_s\end{pmatrix}$$

若行列取自相同行列的子式，称为主子式。

推论 3.5.6

$AA^T$ 每个主子式都非负。

例 3.5.7(Lagrange 恒等式)

设 $n \ge 2$ 则

$$(\sum_{i = 1}^n a_i^2) (\sum_{i = 1}^n b_i^2) - (\sum_{i = 1}^n a_ib_i)^2 = \sum_{i = 1}^n (a_ib_j - a_jb_i)^2$$

然后对于前者 $\ge 0$ 为 $\text{Cauchy-Schwarz}$ 不等式。

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本文作者：zjp_shadow
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