第三章 行列式

3.1 二阶和三阶行列式

简单介绍了下二元、三元一次方程组的求法，然后引入了行列式。

3.2 n阶行列式的定义与基本性质

定义余子式和代数余子式。

定义行列式 \(|A| = \mathrm{det} A = \sum\limits_{i = 1}^n (-1)^{i + 1} a_{i1}M_{i1} = \sum\limits_{i = 1}^n a_{i1}A_{i1}\)

注记 3.2.2

有函数 \(\mathrm{det} : M_n(\mathbb F) \to \mathbb F, A \mapsto \mathrm{det} A = |A|\)

命题 3.2.3

设 \(A\) 为上三角矩阵，则 \(|A|\) 等于主对角元素的乘积。特别地 \(|I_n| = 1\) 。

由定义可证。

命题 3.2.4

\(A\) 为 \(n\) 阶方阵且 \(B\) 是将 \(A\) 第 \(s\) 行元素乘以数 \(c\) 得到的矩阵，则 \(|B| = c|A|\) 。

用数学归纳法，然后展开看系数。

推论 3.2.5

若 \(n\) 阶矩阵 \(A\) 某行为 \(0\) 则 \(|A| = 0\)

注记 3.2.6

\(|cA| = c^n|A|\)

命题 3.2.7

设 \(B\) 通过交换 \(A\) 两个不同行得到矩阵，则 \(|B| = -|A|\) 。

考虑归纳法，然后考虑交换相邻两行，再推广。

推论 3.2.8

若两行完全相同或者成比例则 \(|A| = 0\) 。

命题 3.2.9

对 \(A, B, C\) 三个 \(n\) 阶方阵，若给定 \(1 \le s \le n\) 若 \(c_{sj} = a_{sj} +b_{sj}\) 其余位置 \(a_{ij} = b_{ij} = c_{ij}\) 那么 \(|C| = |A| + |B|\) 。

还是归纳法，然后展开的时候考虑一下两种项即可。

注记 3.2.10

一般来说 \(|A + B| = |A| + |B|\) 不成立。

推论 3.2.11

设 \(B\) 是将 \(A\) 将第 \(i\) 行元素乘以 \(c\) 加到第 \(j\) 行 \((i \not= j)\) 上所得到的的矩阵，有 \(|B| = |A|\) 。

综上，我们得到了 \(|P_{ij}A| = -|A|, |D_i(c)A| = c|A|, |T_{ij}(c) A| = |A|\) ，对于列变换也一样（考虑转置即可）

引理 3.2.12

• 若 \(D = \mathrm{diag}(d_1, \dots, d_n)\) 则 \(|DA| = d_1 \cdots d_n |A|\) 。
• \(A\) 可以通过第三类初等变换变成 \(\mathrm{diag}(d_1, \dots, d_n)\) 且 \(|A| = d_1 \cdots d_n\) 。

定理 3.2.13

\(|A^T| = |A|\)

考虑把 \(A\) 化成第三类初等矩阵和对角矩阵的乘积。

定理 3.2.14

\(|AB| = |A||B|\)

同 定理3.2.13 证明即可。

推论 3.2.15

\(|A|\) 可逆 \(\Leftrightarrow |A| \not= 0\)

而且此时有 \(|A^{-1}| = |A|^{-1}\)

\(\Rightarrow: |A||A^-1| = |I_n| = 1\)

\(\Leftarrow:\) 可化成对角矩阵，然后 \(\mathrm r(A) = n\) 即可

注记 3.2.16

\(|A| \not = 0\) 则 \(A\) 非奇异；\(|A| = 0\) 则 \(A\) 奇异。

定义 \(s\) 阶子式 。

命题 3.2.17

\(\mathrm r = \mathrm r(A)\) 当且仅当 \(A\) 有一个非零的 \(r\) 阶子式，且所有的 \(r+1\) 阶子式全为 \(0\) 。

先证如果存在一个非零的 \(r\) 阶子式 \(\mathrm r(A) \ge r\) ，然后考虑反证法即可。

3.3 行列式的展开和Cramer法则

定理 3.3.1

\[\sum_{i = 1}^n a_{is}A_{it} = [s = t]|A| = \sum_{i = 1}^n a_{si} A_{ti} \]

只需考虑一半，另外一半用转置即可。

首先证明 \(s = t\) 的情况，可考虑交换两列后，利用定义证。

对于 \(s \not = t\) 时候，考虑把第 \(t\) 列用第 \(s\) 列替换，然后不难发现新矩阵行列式即这个求和式，显然为 \(0\) .

我们称

\[A^* = \begin{pmatrix} A_{11} &A_{21} &\cdots &A_{n1}\\ A_{12} &A_{22} &\cdots &A_{n2}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ A_{1n} &A_{2n} &\cdots &A_{nn} \end{pmatrix} \]

为 \(A\) 的伴随矩阵，由上述定理得到 \(AA^* = |A|I_n = A^*A\)

推论 3.3.2

若 \(A\) 可逆，则 \(A^{-1} = |A|^{-1} A^*\)

定理 3.3.4(Cramer's rule)

若线性方程组的系数矩阵 \(A\) 可逆，则方程组有唯一解 \(x_i = \frac{D_i}{|A|}\) 。

其中 \(D_i = \{\alpha_1, \dots, \alpha_{i - 1}, \beta, \alpha_{i + 1}, \dots, \alpha_n\}\)

证明：
有唯一解 \((x_1 \dots x_n)^T = A^{-1} (b_1 \dots b_n)^T\)

由推论可知，\(A^{-1} = {|A|}^{-1} A^*\)
则 \(x_i = {|A|}^{-1} \sum_{A_{ji}}b_j = {|A|}^{-1} D_i\)

进行扩展的话，只需要令 \(x_{r + 1}, \dots, x_n\) 赋上一组解即可，
然后用这个去代回去。

例 3.3.5

归纳法计算范德蒙德行列式。

例 3.3.6

第一降阶定理

\[\begin{vmatrix} A & B\\ C & D \end{vmatrix} = \begin{cases} |A||D - CA^{-1}B| &若A可逆\\ |D||A - BD^{-1}C| &若D可逆 \end{cases} \]

证明：

\[\begin{pmatrix} I_m & 0\\ -CA^{-1} & I_n\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B\\ C & D\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B\\ 0 & D - CA^{-1}B\\ \end{pmatrix} \]

注记 3.3.7

第一降阶公式

当 \(A, D\) 都可逆有

\(|D + CA^{-1}B| = |A^{-1}||D||A + BD^{-1} C|\)

3.4 行列式的等价定义

定义 3.4.1

定义逆序数，偶排列，奇排列。

定理 3.4.2

\[|A| = \sum_{(i_1, \dots, i_n) \in S_n} (-1)^{\tau(i_1, \dots, i_n)} a_{i_11}a_{i_22}\dots a_{i_nn} \]

证明考虑展开每项，然后将选取的项标成 \(1\) ，最后调整成单位矩阵的次数。

推论 3.4.3

\(n \ge 2\) 时，奇偶排列各占一半、

证明，取 \(a_{ij} = 1\) ，有 \(|A| = 0 = \sum_{(i_1, \dots, i_n) \in S_n} (-1)^{\tau(i_1, \dots, i_n)}\)

推论 3.4.5

设映射

\[\mathcal D: M_n (\mathbb F) = \underbrace{\mathbb{F}^n \times \cdots \times \mathbb{F}^n}_{n} \to \mathbb F \]

满足

\[\mathcal D(\alpha_1, \dots, \lambda \alpha_i, \dots, \alpha_n) = \mathcal \lambda D(\alpha_1, \dots, \alpha_i, \dots, \alpha_n) \\ \mathcal D(\alpha_1, \dots, \alpha_i + \beta_i, \dots, \alpha_n) = \mathcal D(\alpha_1, \dots, \alpha_i, \dots, \alpha_n) + \mathcal D(\alpha_1, \dots, \beta_i, \dots, \alpha_n) \\ \mathcal D(\alpha_1, \dots, \alpha_i, \dots, \alpha_j, \dots, \alpha_n) = 0 ~若~\alpha_i = \alpha_j(i \not = j)\\ \mathcal D(\textbf e_1, \textbf e_2, \dots, \textbf e_n) = 1 \]

则作为 \(M_n(\mathbb F) \to \mathbb F\) 的函数 \(\mathcal D = \mathrm{det}\) 。

注记 3.4.6

上述 \(\mathcal D: M_n(\mathbb F) \to \mathbb F\) 为行列式函数。

引理 3.4.7

排列中交换两个数位置称作对换。

一个排列经过一次对换后奇偶性改变。

首先考虑相邻两个情况，然后推广即可。

命题 3.4.8

推广到 \(a_{i_1j_1} a_{i_2j_2} \cdots a_{i_nj_n}\) 的符号为 \((-1)^{\tau(i_1, \dots, i_n) + \tau(j_1, \dots, j_n)}\) 。

3.5 Laplace定理与Cauchy-Binet公式

定义 3.5.1

定义 \(A\) 的一个 \(s\) 阶子式

\[A \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \dots & i_s\\ j_1 & j_2 & \dots & j_s\end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a_{i_1j_1} &\cdots &a_{i_1j_s}\\ \vdots &\ddots &\vdots\\ a_{i_sj_1} &\cdots &a_{i_sj_s} \end{vmatrix} \]

并且定义其余子式，为划去那些行与列的子式
\(M \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \dots & i_s\\ j_1 & j_2 & \dots & j_s\end{pmatrix}\)

进一步定义代数余子式

\[\widehat A \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \dots & i_s\\ j_1 & j_2 & \dots & j_s\end{pmatrix} = (-1)^{i_1 + \cdots + i_s + j_1 + \cdots + j_s} M \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \dots & i_s\\ j_1 & j_2 & \dots & j_s\end{pmatrix} \]

定理 3.5.2(Laplace 定理)

取定 \(s\) 和 \(1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_s \le n\)

\[|A| = \sum_{1 \le j_1 < j_2 < \cdots < j_s \le n} A \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \dots & i_s\\ j_1 & j_2 & \dots & j_s\end{pmatrix} \widehat A \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \dots & i_s\\ j_1 & j_2 & \dots & j_s\end{pmatrix} \]

证明的话，每个排列都会被枚举到，那么只需要考虑系数（此处比较复杂）

定理 3.5.4(Cauchy-Binet 公式)

设 \(A, B\) 分别为 \(m \times n\) 和 \(n \times m\) 矩阵

• 若 \(m > n\) 则 \(|AB| = 0\)
• 若 \(m \le n\) 则

\[|AB| = \sum_{1 \le j_1 < j_2 < \cdots < j_m \le n} A \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & m\\ j_1 & j_2 & \dots & j_m\end{pmatrix} B \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & \dots & j_m\\ 1 & 2 & \dots & m\end{pmatrix} \]

考虑

\[\begin{vmatrix} A & 0\\ -I_n & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & AB\\ -I_n & B \end{vmatrix}\]

对于右式展开前 \(m\) 行之后，考虑系数。对于左式按前 \(m\) 行展开，然后余子式，对前 \(n - m\) 列展开。最后比较系数

推论 3.5.5

设 \(A, B\) 分别为 \(m \times n\) 和 \(n \times m\) 矩阵，\(s \le m\)

• 若 \(s > n\) 则 \(AB\) 所有 \(s\) 阶子式为 \(0\)
• 若 \(s \le n\) 则 \(AB\) 的 \(s\) 阶子式

\[AB \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \dots & i_s\\ j_1 & j_2 & \dots & j_s\end{pmatrix} \\ = \sum_{1 \le k_1 < k_2 < \cdots < k_s \le n} A \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \dots & i_s\\ k_1 & k_2 & \dots & k_s\end{pmatrix} B \begin{pmatrix} k_1 & k_2 & \dots & k_s\\ j_1 & j_2 & \dots & j_s\end{pmatrix} \]

若行列取自相同行列的子式，称为主子式。

推论 3.5.6

\(AA^T\) 每个主子式都非负。

例 3.5.7(Lagrange 恒等式)

设 \(n \ge 2\) 则

\[(\sum_{i = 1}^n a_i^2) (\sum_{i = 1}^n b_i^2) - (\sum_{i = 1}^n a_ib_i)^2 = \sum_{i = 1}^n (a_ib_j - a_jb_i)^2 \]

然后对于前者 \(\ge 0\) 为 \(\text{Cauchy-Schwarz}\) 不等式。