第二章 矩阵代数

2.1 线性映射和矩阵的运算

设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵

定义映射

$$\phi_A: \mathbb F^n \to \mathbb F^m, \alpha = \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \sum_{j = 1}^n a_{1j}c_j \\ \vdots \\ \sum_{j = 1}^n a_{mj}c_j\end{pmatrix} = \sum_{i = 1}^n c_i \beta_i$$

根据定义，有如下性质：

• $\phi_A(\alpha + \beta) = \phi_A(\alpha) + \phi_A(\beta)$
• 集合 $\{\alpha ~|~ \phi_A(\alpha) = 0\} \subseteq \mathbb{F}^n$ 称为 $\phi_A$ 的核，记作 $\mathrm{Ker} \phi_A$ ，恰是以 $A$ 为系数的齐次线性方程组的解空间
• 映射 $\phi_a$ 的像 $\mathrm{Im} \phi_A = \{\phi_A ~|~ \alpha \in \mathbb{F}^n\} \subseteq \mathbb{F}^m$ 恰是 $A$ 的列空间。
• 任意给定 $\beta \in \mathbb F^m$ 若 $\beta \notin \mathrm{Im} \phi_A$ 则 $B$ 的原像 $\phi_A^{-1} (\beta) = \{\alpha \in \mathbb{F}^n ~|~ \phi_A(\alpha) = \beta\}$ （亦称为 $\phi_A$ 的纤维）是空集，即以 $(A, \beta)$ 为增广矩阵的线性方程组无解。

命题 2.1.2

• $\phi_A$ 是单射 $\Leftrightarrow r(A) = n \Leftrightarrow \mathrm{Ker} \phi_A = 0$
• $\phi_A$ 是满射 $\Leftrightarrow r(A) = m$

定义 2.1.3

一个映射 $\varphi: \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m$ 称为线性映射，如果 $\varphi (\alpha + \beta) = \varphi(\alpha) + \varphi(\beta), \varphi(k\alpha) = k \varphi(\alpha), \forall \alpha, \beta \in \mathbb F^n, k \in \mathbb F$

特别地，$m = n$ 时称为线性变换。

命题 2.1.4

设 $\varphi: \mathbb F^n \to \mathbb F^m$ 是一个线性映射，则存在一个矩阵 $\mathbb F^n \to \mathbb F^m$ 都具有这种形式。

构造单位矩阵即可

记 $\mathrm{Hom}_\mathbb F (\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m) := \{\mathbb{F}^n 到 \mathbb{F}^m的所有线性映射\}$

推论 2.1.5

存在一个双射

$$\begin{aligned} \Theta : \mathrm{Hom}_\mathbb F (\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m) &\to M_{m, n} (\mathbb F)\\ \varphi &\mapsto (\varphi(\textbf e_1), \dots, \varphi(\textbf e_n)) \end{aligned}$$

对于 $\varphi, \psi \in\mathrm{Hom}_\mathbb F (\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m)$ ，定义 $\varphi + \psi$ 如下：

$(\varphi + \psi) (\alpha) = \varphi(\alpha) + \psi(\alpha), \forall \alpha \in \mathbb F^n$

仍然是个线性映射，即 $\varphi + \psi \in\mathrm{Hom}_\mathbb F (\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m)$

注记 2.1.6

可以验证，$\mathrm{Hom}_\mathbb F (\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m)$ 可以定义如上的加法运算及数乘运算满足 $\text{(VS1) - (VS8)}$ 。

定义 2.1.7

定义两个矩阵的和和矩阵的数乘与矩阵的乘积，也满足 $\text{(VS1) - (VS8)}$ 。

$\phi_B: \mathbb{F}^s \to \mathbb{F}^n, \phi_A: \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m$

它们的合成$\phi_A \circ \phi_B: \mathbb{F}^s \to \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m$ 有 $C = A B$ 使得 $\phi_A \circ \phi_B = \phi_C$ 。

注记 2.1.8

矩阵的乘积是一个代数运算。

满足结合律、分配率，数乘的结合律。

定义 $n$ 阶单位矩阵 和 $n$ 阶方阵，以及矩阵的幂。

定义 2.1.10

定义对角矩阵，若 $D = d I_n$ 那么 $D$ 为纯量矩阵或标量矩阵。

定义 （严格）上/下三角矩阵。

若 $A^T = A$ 则 $A$ 为对称矩阵，$A^T = -A$ 为反对称矩阵。

定义共轭矩阵，以及运算规则：$\overline{A + B} = \overline{A } + \overline{B}; \overline{cA} = \overline c \overline A; \overline{AB} = \overline A ~\overline B$

若 $\overline A^T = A$ 则称 $A$ 为埃尔米特矩阵。

命题 2.1.11

$r(AB) \le \min \{r(A), r(B)\}$

注记 2.1.12

可将复数域 $\mathbb C$ 看成 $M_2(\mathbb R)$ 的子集，
乘法即对应两个 $2$ 阶实矩阵的乘积是一致的。

可将四元数体 $\mathbb H$ 看成 $M_2(\mathbb C)$ 的子集，也可看成 $M_4(\mathbb R)$ 的子集。

2.2 可逆矩阵

定义 2.2.1

定义 可逆矩阵、逆矩阵、不可逆的。

注记 2.2.2

• 只有方阵才有逆矩阵的定义，非零方阵不一定可逆
• 可逆矩阵的逆矩阵唯一确定

命题 2.2.3

• $(A^{-1})^{-1} = A$
• $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
• $(cA)^{-1} = c^{-1}A^{-1}$
• $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$

注：$A, B$ 都为 $n$ 阶可逆军阵，则 $A \pm B$ 不一定可逆，反之也不成立。

定理 2.2.4

$A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $r(A) = n$

$\Rightarrow: \mathrm r(A) \le n = \mathrm r(I_n) = r(AB) \le r(A)$

$\Leftarrow:$ 等价于 $\{e_1, \dots, e_n\}$ 那么可以构造一个线性组合满足这个变换，就可以证明了。

注记 2.2.5

若 $\mathrm r(A) = n$ 则 $A$ 为非退化的，否则 $A$ 是退化的。

推论 2.2.6

若 $AB = I_n$ 或 $BA = I_n$ 则 $A$ 可逆且 $B = A^{-1}$ 。

那么线性方程组可以表示为 $Ax = \beta$ ，则唯一解可以表示为 $x = A^{-1} \beta$ 。

2.3 矩阵的初等变换与初等矩阵

定义 2.3.1

设 $A$ 可以通过初等变换变成 $B$ 那么称 $A$ 与 $B$ 等价或相抵 ，记作 $A \sim B$，矩阵的等价是一个等价关系。

任何一个矩阵 $A$ 都等价于矩阵 $\begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ 其中 $r = \mathrm r(A)$ ，并称 $B$ 是 $A$ 在等价下的标准形或相抵标准形。

则可得到 $A \sim B \Leftrightarrow \mathrm r(A) = \mathrm r(B)$ 因此 $M_{m, n}(\mathbb F)$ 的等价类个数为 $1 + \min\{m, n\}$ 。

定义 2.3.2

对 $I_n$ 进行一二三类初等变换得到的矩阵，分别称为一二三类初等矩阵。

有 $P_{ij}^{-1} = P_{ij}, D_i(c)^{-1} = D_i(c^{-1}), T_{ij}(c)^{-1} = T_{ij}(-c)$

定理 2.3.3

左乘初等矩阵相当于进行行变换，右乘则为列变换。

推论 2.3.4

若 $A \sim B$ ，则存在可逆矩阵 $P, Q$ 使得 $PAQ = B$

推论 2.3.6

$A$ 可逆当且仅当 $A \sim I_n$ 。

推论 2.3.7

$A$ 可逆当且仅当 $A$ 可以表示成若干个初等矩阵的矩阵。

推论 2.3.8

设 $A$ 是个可逆矩阵，可仅用初等行/列变化把 $A$ 化为单位矩阵 $I_n$。

由 $P_m \cdots P_1 A = I_n$ 可推得 $A^{-1} = P_m \cdots P_1 I_n$ 则可推出求逆的步骤。

2.4 分块矩阵

定义分块矩阵，及其一些基础运算。

例 2.4.1

设 $P = \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B\end{pmatrix}$ ，$A, B$ 可逆，求 $P^{-1}$ 。

设 $X$ 为逆矩阵，然后有 $PX = \begin{pmatrix} I_s & 0 \\ 0 & I_t\end{pmatrix}$ 然后解四个方程即可。

接下来定义分块对角矩阵。

然后定义分块初等变换，对于第二类可以把 $c$ 换成可逆矩阵，对于第三类可以把 $c$ 换成任意矩阵（如果可以加的话）

然后可以利用这个与矩阵求逆求出 $P^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1}\\ 0 & B^{-1}\end{pmatrix}$

例 2.4.2

$\mathrm r(A + B) \le \mathrm r(A) + \mathrm r(B)$

$\mathrm r(A + B) \le \mathrm r(\begin{pmatrix} A & A + B\\ 0 & B\end{pmatrix}) = \mathrm r(\begin{pmatrix} A & 0\\ 0 & B\end{pmatrix}) = \mathrm r(A) + \mathrm r(B)$

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本文作者：zjp_shadow
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