第二章 矩阵代数

2.1 线性映射和矩阵的运算

设 \(A\) 为 \(m \times n\) 矩阵

定义映射

\[\phi_A: \mathbb F^n \to \mathbb F^m, \alpha = \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \sum_{j = 1}^n a_{1j}c_j \\ \vdots \\ \sum_{j = 1}^n a_{mj}c_j\end{pmatrix} = \sum_{i = 1}^n c_i \beta_i \]

根据定义，有如下性质：

• \(\phi_A(\alpha + \beta) = \phi_A(\alpha) + \phi_A(\beta)\)
• 集合 \(\{\alpha ~|~ \phi_A(\alpha) = 0\} \subseteq \mathbb{F}^n\) 称为 \(\phi_A\) 的核，记作 \(\mathrm{Ker} \phi_A\) ，恰是以 \(A\) 为系数的齐次线性方程组的解空间
• 映射 \(\phi_a\) 的像 \(\mathrm{Im} \phi_A = \{\phi_A ~|~ \alpha \in \mathbb{F}^n\} \subseteq \mathbb{F}^m\) 恰是 \(A\) 的列空间。
• 任意给定 \(\beta \in \mathbb F^m\) 若 \(\beta \notin \mathrm{Im} \phi_A\) 则 \(B\) 的原像 \(\phi_A^{-1} (\beta) = \{\alpha \in \mathbb{F}^n ~|~ \phi_A(\alpha) = \beta\}\) （亦称为 \(\phi_A\) 的纤维）是空集，即以 \((A, \beta)\) 为增广矩阵的线性方程组无解。

命题 2.1.2

• \(\phi_A\) 是单射 \(\Leftrightarrow r(A) = n \Leftrightarrow \mathrm{Ker} \phi_A = 0\)
• \(\phi_A\) 是满射 \(\Leftrightarrow r(A) = m\)

定义 2.1.3

一个映射 \(\varphi: \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m\) 称为线性映射，如果 \(\varphi (\alpha + \beta) = \varphi(\alpha) + \varphi(\beta), \varphi(k\alpha) = k \varphi(\alpha), \forall \alpha, \beta \in \mathbb F^n, k \in \mathbb F\)

特别地，\(m = n\) 时称为线性变换。

命题 2.1.4

设 \(\varphi: \mathbb F^n \to \mathbb F^m\) 是一个线性映射，则存在一个矩阵 \(\mathbb F^n \to \mathbb F^m\) 都具有这种形式。

构造单位矩阵即可

记 \(\mathrm{Hom}_\mathbb F (\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m) := \{\mathbb{F}^n 到 \mathbb{F}^m的所有线性映射\}\)

推论 2.1.5

存在一个双射

\[\begin{aligned} \Theta : \mathrm{Hom}_\mathbb F (\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m) &\to M_{m, n} (\mathbb F)\\ \varphi &\mapsto (\varphi(\textbf e_1), \dots, \varphi(\textbf e_n)) \end{aligned} \]

对于 \(\varphi, \psi \in\mathrm{Hom}_\mathbb F (\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m)\) ，定义 \(\varphi + \psi\) 如下：

\((\varphi + \psi) (\alpha) = \varphi(\alpha) + \psi(\alpha), \forall \alpha \in \mathbb F^n\)

仍然是个线性映射，即 \(\varphi + \psi \in\mathrm{Hom}_\mathbb F (\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m)\)

注记 2.1.6

可以验证，\(\mathrm{Hom}_\mathbb F (\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m)\) 可以定义如上的加法运算及数乘运算满足 \(\text{(VS1) - (VS8)}\) 。

定义 2.1.7

定义两个矩阵的和和矩阵的数乘与矩阵的乘积，也满足 \(\text{(VS1) - (VS8)}\) 。

\(\phi_B: \mathbb{F}^s \to \mathbb{F}^n, \phi_A: \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m\)

它们的合成\(\phi_A \circ \phi_B: \mathbb{F}^s \to \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m\) 有 \(C = A B\) 使得 \(\phi_A \circ \phi_B = \phi_C\) 。

注记 2.1.8

矩阵的乘积是一个代数运算。

满足结合律、分配率，数乘的结合律。

定义 \(n\) 阶单位矩阵 和 \(n\) 阶方阵，以及矩阵的幂。

定义 2.1.10

定义对角矩阵，若 \(D = d I_n\) 那么 \(D\) 为纯量矩阵或标量矩阵。

定义 （严格）上/下三角矩阵。

若 \(A^T = A\) 则 \(A\) 为对称矩阵，\(A^T = -A\) 为反对称矩阵。

定义共轭矩阵，以及运算规则：\(\overline{A + B} = \overline{A } + \overline{B}; \overline{cA} = \overline c \overline A; \overline{AB} = \overline A ~\overline B\)

若 \(\overline A^T = A\) 则称 \(A\) 为埃尔米特矩阵。

命题 2.1.11

\(r(AB) \le \min \{r(A), r(B)\}\)

注记 2.1.12

可将复数域 \(\mathbb C\) 看成 \(M_2(\mathbb R)\) 的子集，
乘法即对应两个 \(2\) 阶实矩阵的乘积是一致的。

可将四元数体 \(\mathbb H\) 看成 \(M_2(\mathbb C)\) 的子集，也可看成 \(M_4(\mathbb R)\) 的子集。

2.2 可逆矩阵

定义 2.2.1

定义 可逆矩阵、逆矩阵、不可逆的。

注记 2.2.2

• 只有方阵才有逆矩阵的定义，非零方阵不一定可逆
• 可逆矩阵的逆矩阵唯一确定

命题 2.2.3

• \((A^{-1})^{-1} = A\)
• \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)
• \((cA)^{-1} = c^{-1}A^{-1}\)
• \((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\)

注：\(A, B\) 都为 \(n\) 阶可逆军阵，则 \(A \pm B\) 不一定可逆，反之也不成立。

定理 2.2.4

\(A\) 可逆 \(\Leftrightarrow\) \(r(A) = n\)

\(\Rightarrow: \mathrm r(A) \le n = \mathrm r(I_n) = r(AB) \le r(A)\)

\(\Leftarrow:\) 等价于 \(\{e_1, \dots, e_n\}\) 那么可以构造一个线性组合满足这个变换，就可以证明了。

注记 2.2.5

若 \(\mathrm r(A) = n\) 则 \(A\) 为非退化的，否则 \(A\) 是退化的。

推论 2.2.6

若 \(AB = I_n\) 或 \(BA = I_n\) 则 \(A\) 可逆且 \(B = A^{-1}\) 。

那么线性方程组可以表示为 \(Ax = \beta\) ，则唯一解可以表示为 \(x = A^{-1} \beta\) 。

2.3 矩阵的初等变换与初等矩阵

定义 2.3.1

设 \(A\) 可以通过初等变换变成 \(B\) 那么称 \(A\) 与 \(B\) 等价或相抵 ，记作 \(A \sim B\)，矩阵的等价是一个等价关系。

任何一个矩阵 \(A\) 都等价于矩阵 \(\begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\) 其中 \(r = \mathrm r(A)\) ，并称 \(B\) 是 \(A\) 在等价下的标准形或相抵标准形。

则可得到 \(A \sim B \Leftrightarrow \mathrm r(A) = \mathrm r(B)\) 因此 \(M_{m, n}(\mathbb F)\) 的等价类个数为 \(1 + \min\{m, n\}\) 。

定义 2.3.2

对 \(I_n\) 进行一二三类初等变换得到的矩阵，分别称为一二三类初等矩阵。

有 \(P_{ij}^{-1} = P_{ij}, D_i(c)^{-1} = D_i(c^{-1}), T_{ij}(c)^{-1} = T_{ij}(-c)\)

定理 2.3.3

左乘初等矩阵相当于进行行变换，右乘则为列变换。

推论 2.3.4

若 \(A \sim B\) ，则存在可逆矩阵 \(P, Q\) 使得 \(PAQ = B\)

推论 2.3.6

\(A\) 可逆当且仅当 \(A \sim I_n\) 。

推论 2.3.7

\(A\) 可逆当且仅当 \(A\) 可以表示成若干个初等矩阵的矩阵。

推论 2.3.8

设 \(A\) 是个可逆矩阵，可仅用初等行/列变化把 \(A\) 化为单位矩阵 \(I_n\)。

由 \(P_m \cdots P_1 A = I_n\) 可推得 \(A^{-1} = P_m \cdots P_1 I_n\) 则可推出求逆的步骤。

2.4 分块矩阵

定义分块矩阵，及其一些基础运算。

例 2.4.1

设 \(P = \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B\end{pmatrix}\) ，\(A, B\) 可逆，求 \(P^{-1}\) 。

设 \(X\) 为逆矩阵，然后有 \(PX = \begin{pmatrix} I_s & 0 \\ 0 & I_t\end{pmatrix}\) 然后解四个方程即可。

接下来定义分块对角矩阵。

然后定义分块初等变换，对于第二类可以把 \(c\) 换成可逆矩阵，对于第三类可以把 \(c\) 换成任意矩阵（如果可以加的话）

然后可以利用这个与矩阵求逆求出 \(P^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1}\\ 0 & B^{-1}\end{pmatrix}\)

例 2.4.2

\(\mathrm r(A + B) \le \mathrm r(A) + \mathrm r(B)\)

\(\mathrm r(A + B) \le \mathrm r(\begin{pmatrix} A & A + B\\ 0 & B\end{pmatrix}) = \mathrm r(\begin{pmatrix} A & 0\\ 0 & B\end{pmatrix}) = \mathrm r(A) + \mathrm r(B)\)