第一章 线性方程组

1.1 域

定义 1.1.1

设 \(\mathbb F\) 是复数域 \(\mathbb C\) 的一个子集且至少包含两个元素。如果对于任意 \(a, b \in \mathbb F\) 都有

\[a + b, a - b, ab, \frac a b(b \not= 0) \in \mathbb F \]

则称 \(\mathbb F\) 是个数域。

命题 1.1.2

设 \(\mathbb F\) 是个数域，则 \(\mathbb Q \subset \mathbb F\) （也就是 \(\mathbb Q\) 是最小的数域）

定义 1.1.3

• 笛卡尔积 \(X \times Y = \{(x, y) | x \in X, y \in Y\}\)

• 代数运算 \(X \times Y \to Z, (x, y) \mapsto x \circ y\)

  特别地，二元运算 \(X \times X \to X, (x, y) \mapsto x \circ y\)

除法是 \(\mathbb Q^* = \mathbb Q \backslash \{0\}\) 上的一个二元运算

定义 1.1.4

\(\mathbb F\) 上有两个二元运算（加法和乘法）满足 \((F1) - (F9)\) 就称为域。（此处定义 零元、负元、单位元、逆元）

注记 1.1.5

不满足 \((F6),(F8)\) （乘法交换律和逆元）则称环，进一步满足 \((F6)\) 就称作交换环。

若只不满足 \((F6)\) 那称为体或者除环。

称满足 \(p 1 = 0\) （\(1\) 为 \(\mathbb F\) 中单位元，\(0\) 为 \(\mathbb F\) 中零元）的最小正整数 \(p\) 是 \(\mathbb F\) 的特征，记作 \(p = \mathrm{char} \mathbb F\) ；如果不存在这样的 \(p\) 则称 \(\mathbb F\) 的特征为 \(0\) 。

因此，若 \(\mathbb K\) 为一个数域，则 \(\mathrm{char} \mathbb K = 0\) 。

注记 1.1.6

• 特征只能为 \(0\) 或者一个素数。

• 若 \(\mathbb F\) 是一个特征为 \(p > 0\) 的域，则对于 \(\forall a \in F\) 有 \(pa = 0\) 并且

  \((a + b)^p = a^p + b^p ~~~~~(\forall a, b \in \mathbb F)\)

定义 1.1.7

\(X\) 上一个二元关系为 \(X \times X\) 的一个子集合 \(R\) 。

如果满足反身性、对称性、传递性，就叫做等价关系。（记作 \(x \sim y\)）

记 \(\overline x\) 为 \(x\) 的等价类，即 \(\overline x = \{y \in X~ ~|~ ~y \sim x\}\) 。（和代表元选取无关）

注记 1.1.8

满足反身性、反对称性、传递性，就叫做偏序关系，并称 \(X = (X, \le)\) 为一个偏序集。

命题 1.1.9

设 \(n\) 是一个大于 \(1\) 的正整数，则 \(\mathbb Z /n\mathbb Z\) 为交换环。

\((\mathbb Z / n \mathbb Z, +, \cdot)\) 是一个域当且仅当 \(n\) 是一个素数。

注记 1.1.10

\(\mathbb F\) 是个有限域，则 \(|\mathbb F| = p^n\) 其中 \(p\) 为一个素数，\(n\) 为一个正整数。

任意含有元素个数相同的两个有限域总是同构的。

1.2 线性方程组，Gauss消元法与矩阵

定义 1.2.1

线性方程组

\[\begin{cases} a_{11}x_1 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{m1}x_1 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} \]

有 \(n\) 个未知量或变元，\(a_{ij}\)为系数，\(b_i\)为常数项。

如果 \(b_1 = \cdots = b_m = 0\) 那么称为一个齐次线性方程组（我们关注它是否有非零解）。

注记 1.2.1

设 \(\mathbb F = \mathbb R\) 那么 \(n = 2\) 时解就是直线交，\(n = 3\) 时就是平面的交。

引理 1.2.2

初等变换将一个线性方程组变为一个同解的线性方程组。

• 交换两个方程组位置；
• 用一个非零的数乘某一个方程；
• 将一个方程的倍数加到另一个方程

考虑高斯消元过程，可化为阶梯形。

命题 1.2.3

每一个线性方程组都与一个阶梯形线性方程组同解。

定理 1.2.4

线性方程组的无解、有解、唯一解、无穷多解判定。

无穷多解的情况中，称未知量 \(x_{i_{r+1}}, \dots, x_{i_n}\) 为方程组的一组自由未知量。

推论 1.2.5

若一个齐次线性方程组所含方程个数小于它的未知量个数，则该方程组一定有非零解。

并称其为相伴的齐次线性方程组或导出组。

推论 1.2.6

方程组有唯一解当且仅当导出组只有零解。

定义 1.2.7

定义 \(m \times n\) 矩阵，和 \(a_{i,j}\) 为第 \(i\) 行第 \(j\) 列元素简称为 \((i,j)\) 元素。

\(M_{m,n} (\mathbb F)\) 为数域 \(\mathbb F\) 所有 \(m \times n\) 矩阵构成的集合。

定义线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，然后可以定义矩阵的初等行/列变换。

命题 1.2.8

重新叙述 命题1.2.3 。

任意一个 \(m \times n\) 矩阵可以通过初等行变换化为如下形式的阶梯形矩阵。

其中 \(a_{1,i_1}, \cdots,a_{r,i_r}\) 都是非零数，称为主元。

1.3 n维向量空间

定义 1.3.1

设 \(\mathbb F\) 是一个数域，\(\mathbb F\) 中 \(n\) 个数构成有序数组 \(\alpha = (a_1, \dots, a_n)\) 称为 \(\mathbb F\) 上一个 \(n\) 维（行）向量。

并且记 \(\mathbb F^n = \{(a_1, \dots, a_n) ~|~ a_1, \dots, a_n \in \mathbb F\}\)

称 \(\mathbb F^n\) 与其上的加法运算和数乘运算合称为 \(\mathbb F\) 上的 \(n\) 维向量空间。

线性方程组亦可用向量表示为 \(x_1 \beta_1 + \dots + x_n \beta_n = \beta\) （\(\beta\) 为列向量）

定义 1.3.2

定义 线性组合 和 线性表示。

定义 1.3.4

\(n\) 维向量空间 \(\mathbb F^n\) 的一个非空子集合称为一个子空间，如果对于 \(\forall \alpha, \beta \in W\) 以及任意 \(\lambda \in \mathbb F\) 都有 \(\alpha + \beta \in W, \lambda \alpha \in W\) 。

称 \(\mathcal L(\alpha_1, \cdots, \alpha_s)\) 为 \(\mathbb F^n\) 的由 \(\alpha_1, \cdots, \alpha_s\) 张成的子空间。

一般地 \(S\) 是 \(\mathbb F^n\) 任意一个子集合，则
\(\mathcal L(\alpha_1, \dots, \alpha_s) = \{a_1 \alpha_1 + \cdots + a_m \alpha_m ~|~ m \ge 0, \alpha_i \in S, a_i \in \mathbb F, \forall 1 \le i \le m\}\)
称为由 \(S\) 张成的子空间。

定义 1.3.5

定义 线性相关 和 线性无关。

例 1.3.6

一个齐次线性方程组有非零解 \(\Leftrightarrow\) 其系数矩阵的列向量是线性相关的。

定义 1.3.7

定义 极大（线性）无关组

命题 1.3.9

\(S\) 是 \(n\) 维向量空间 \(\mathbb F^n\) 中的一个含有非零向量的向量组，则 \(S\) 一定有极大无关组。

对 \(n\) 进行数学归纳证明即可，分类讨论有无大小为 \(n\) 的极大无关组。

定义 1.3.10

\(S, T\) 是 \(n\) 维向量空间 \(\mathbb F^n\) 中的两个向量组，若 \(S\) 中每个向量都能由 \(T\) 表示，则称 \(S\) 可由 \(T\) 线性表示（即 \(\mathcal L(S) \subseteq \mathcal L(T)\)）。若 \(S, T\) 可以互相线性表示，则称 \(S, T\) 是等价的（\(\mathcal L(S) = \mathcal L(T)\)）。

定理 1.3.11(Steinitz Exchange Lemma)

设 \(\{\alpha_1, \dots, \alpha_r\}\) 与 \(\{\beta_1, \dots, \beta_s\}\) 是向量空间 \(\mathbb F^n\) 中两个向量组，若 \(\{\alpha_1, \dots, \alpha_r\}\) 线性无关且可由 \(\{\beta_1, \dots, \beta_s\}\) 线性表示，则 \(r \le s\) 。

并且必要时对 \(\{\beta_1, \dots, \beta_s\}\) 重新编号，，用 \(\alpha_1, \dots, \alpha_r\) 替换 \(\beta_1, \dots, \beta_r\) 所得向量组 \(\{\alpha_1, \dots, \alpha_r, \beta_{r+1}, \dots, \beta_s\}\) 与 \(\{\beta_1, \dots, \beta_s\}\) 等价。

同样对 \(r\) 进行数学归纳证明，每次找到一个系数非零的用其余线性表示即可。

推论 1.3.12

若 \(\{\alpha_1, \dots, \alpha_s\}\) 可由 \(\{\beta_1, \dots, \beta_t\}\) 线性表示，且 \(s > t\)，那么 \(\{\alpha_1, \dots, \alpha_s\}\) 线性相关（逆否命题）。

特别地，\(\mathbb F^n\) 中任意 \(n + 1\) 个向量总线性相关。

推论 1.3.13

• 设 \(\{\alpha_1, \dots, \alpha_r\}\) 与 \(\{\beta_1, \dots, \beta_s\}\) 是向量空间 \(\mathbb F^n\) 中两个等价的极大无关组，则 \(r = s\) （因为 \(r \le s, s \le r\) ）
• 一个向量组的所有极大线性无关组所含向量个数一定相同

定义 1.3.14

定义向量组的秩，记作 \(\mathrm r(S)\) 或 \(\mathrm{rank}(S)\) 。

推论 1.3.15

等价的向量组有相同的秩。

推论 1.3.16

设 \(S = \{\alpha_1, \dots, \alpha_m\}\) 为 \(\mathbb F^n\) 中一个向量组。若 \(\alpha_{i_1}, \dots, \alpha_{i_t}\) 线性无关，则 \(t \le \mathrm{rank}(S)\) 且 \(\alpha_{i_1}, \dots, \alpha_{i_t}\) 可以扩充为 \(S\) 的一个极大无关组。

找到极大线性无关组，用 Steinitz 替换定理。

定义 1.3.17

设 \(W\) 是 \(\mathbb F^n\) 的一个子空间，若 \(W\) 中存在线性无关的向量 \(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_s\) 使得 \(W\) 中每个向量均可由 \(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_s\) 线性表示，则称 \(\{\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_s\}\) 为 \(W\) 的一个基，且 \(s\) 为 \(W\) 的维数，记作 \(\mathrm{dim} W = s\) 。

规定零空间 \(\textbf 0\) 的维数等于 \(0\) ，记作 \(\mathrm{dim} \textbf 0 = 0\) 。

命题 1.3.19

• 若 \(W\) 是 \(\mathbb F^n\) 的一个子空间，则 \(\mathrm{dim} W \le n\)
• 若 \(W_1, W_2\) 是 \(\mathbb F^n\) 的两个子空间且 \(W_1 \subseteq W_2\) ，则 \(W_1\) 每一个基从可以扩充成 \(W_2\) 的一个基

1.4 矩阵的秩与线性方程组有解判别准则

定义 1.4.1

定义 行/列空间 和 行/列秩。

引理 1.4.3

矩阵的行秩与列秩在初等（行、列）变化下不变。

行秩讨论即可，列秩需要证明一个关于极大无关组不变的引理。

定理 1.4.4

矩阵行秩等于列秩。

化为上阶梯形矩阵，然后对行、列秩分别说明一下即可。

定义 1.4.5

矩阵 \(A\) 的行秩和列秩称为 \(A\) 的 秩，记作 \(\mathrm r(A)\) 或 \(\mathrm {rank}(A)\) 。

注记 1.4.6

假设通过初等行变换将矩阵 \(A\) 化为阶梯型矩阵 \(B\) 则 \(A\) 的秩恰为 \(B\) 中主元的个数。而且，\(A\) 中位于 \(B\) 中主元所在列的列向量，是 \(A\) 的列向量组的一个极大无关组。

定理 1.4.7

可以通过初等变换把 \(A\) 化成

\[\begin{pmatrix} \mathrm{diag}\{1\} &0\\ 0 &0\\ \end{pmatrix} \]

其中 \(1\) 出现次数为 \(\mathrm r(A)\) 。

命题 1.4.9

\(\mathrm r(A) = \mathrm r(A^T)\)

例 1.4.10

• 设 \(C = \begin{pmatrix} A & 0\\ 0 & B\\ \end{pmatrix}\) 则 \(r(C) = r(A) + r(B)\) 。

  直接将 \(A, B\) 极大线性无关组拼接即可。

• 设 \(A\) 是一个 \(m \times n\) 矩阵，在 \(A\) 中取出 \(s\) 行作一个 \(s \times n\) 矩阵 \(B\) 。则
  \(\mathrm r (B) \ge \mathrm r (A) + s - m\) 。

  用 \(r(A) \le m\) 去证。

定理 1.4.11(Kronecker-Capelli)

线性方程组有解的充要条件是 \(\mathrm r(A) = \mathrm r(\tilde A) = r\) 。
在有解情况下 \(r = n\) 时，有唯一解；\(r < n\) 时有无穷多解。

就是 \(\beta\) 可以被 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\) 线性表示，可以证明扩展出的子空间的维度一样。

然后解的个数就取决于线性表示的方法种数，然后讨论即可。

注记 1.4.12

可以先化为阶梯型矩阵，再利用定理1.2.4给出证明。

推论 1.4.13

若 \(n\) 元齐次线性方程组的系数矩阵 \(A\) 的秩为 \(r\)

• 若 \(r = n\) ，则方程组仅有零解；
• 若 \(r < n\) ，则方程组有无穷多解。

1.5 线性方程组的结构

把齐次方程组的解看做 \(n\) 维列向量，令
\(W = \{(c_1, \dots, c_n)^T \in \mathbb F^n ~|~ \sum_{i = 1}^n c_i \alpha_i = 0\}\) 即方程组所有解构成的集合。

有 \(W\) 是 \(\mathbb F^n\) 的解空间，亦称为矩阵 \(A\) 的零空间 。易见，\(W = 0\) 当且仅当 \(\mathrm r(A) = n\) 。

定义 1.5.1

解空间 \(W\) 的基 \(\{\eta_1, \dots, \eta_s\}\) 称为方程组的一个基础解系。

定理 1.5.2

设 \(\mathrm r = \mathrm r(A) < n\) 则 \(\mathrm{dim} W = n - r\) ，即基础解系恰好含有 \(n - r\) 个向量。

Gauss消元后得到上三角，然后回代出 \(x_1, \dots, x_r\) 的解，对 \(x_{r + 1}, \dots, x_n\) 取特值（只在一处取 \(1\) ），可得到 \(n - r\) 个解，它们线性无关。

然后由回代的式子，可知任意解都可以由 \(\eta_1, \dots, \eta_{n - r}\) 线性表示，即其为一组基础解系。

注记 1.5.3

• 求解过程中交换次序，最后通过调整即可得原齐次方程组的基础解系。
• 根据上述定理，齐次线性方程组的任意一组自由未知量所含向量个数皆为 \(n - \mathrm r(A)\)

定理 1.5.5

设方程组有解，且 \(\gamma\) 是其任意一个特解。则其解集为
\(\gamma + W = \{\gamma + \eta ~|~ \eta \in W\}\) 。

从两面证解空间的包含性，即可推相等

至于具体求解，还是考虑将左上角消成 \(\mathrm{diag}\{1\}\) ，然后此时有 \(\gamma = (d_1, \dots, d_r, 0, \dots, 0)^T\) ，然后后面同上即可。