第一章 线性方程组

1.1 域

定义 1.1.1

设 $\mathbb F$ 是复数域 $\mathbb C$ 的一个子集且至少包含两个元素。如果对于任意 $a, b \in \mathbb F$ 都有

$$a + b, a - b, ab, \frac a b(b \not= 0) \in \mathbb F$$

则称 $\mathbb F$ 是个数域。

命题 1.1.2

设 $\mathbb F$ 是个数域，则 $\mathbb Q \subset \mathbb F$ （也就是 $\mathbb Q$ 是最小的数域）

定义 1.1.3

• 笛卡尔积 $X \times Y = \{(x, y) | x \in X, y \in Y\}$

• 代数运算 $X \times Y \to Z, (x, y) \mapsto x \circ y$

  特别地，二元运算 $X \times X \to X, (x, y) \mapsto x \circ y$

除法是 $\mathbb Q^* = \mathbb Q \backslash \{0\}$ 上的一个二元运算

定义 1.1.4

$\mathbb F$ 上有两个二元运算（加法和乘法）满足 $(F1) - (F9)$ 就称为域。（此处定义 零元、负元、单位元、逆元）

注记 1.1.5

不满足 $(F6),(F8)$ （乘法交换律和逆元）则称环，进一步满足 $(F6)$ 就称作交换环。

若只不满足 $(F6)$ 那称为体或者除环。

称满足 $p 1 = 0$ （$1$ 为 $\mathbb F$ 中单位元，$0$ 为 $\mathbb F$ 中零元）的最小正整数 $p$ 是 $\mathbb F$ 的特征，记作 $p = \mathrm{char} \mathbb F$ ；如果不存在这样的 $p$ 则称 $\mathbb F$ 的特征为 $0$ 。

因此，若 $\mathbb K$ 为一个数域，则 $\mathrm{char} \mathbb K = 0$ 。

注记 1.1.6

• 特征只能为 $0$ 或者一个素数。

• 若 $\mathbb F$ 是一个特征为 $p > 0$ 的域，则对于 $\forall a \in F$ 有 $pa = 0$ 并且

  $(a + b)^p = a^p + b^p ~~~~~(\forall a, b \in \mathbb F)$

定义 1.1.7

$X$ 上一个二元关系为 $X \times X$ 的一个子集合 $R$ 。

如果满足反身性、对称性、传递性，就叫做等价关系。（记作 $x \sim y$）

记 $\overline x$ 为 $x$ 的等价类，即 $\overline x = \{y \in X~ ~|~ ~y \sim x\}$ 。（和代表元选取无关）

注记 1.1.8

满足反身性、反对称性、传递性，就叫做偏序关系，并称 $X = (X, \le)$ 为一个偏序集。

命题 1.1.9

设 $n$ 是一个大于 $1$ 的正整数，则 $\mathbb Z /n\mathbb Z$ 为交换环。

$(\mathbb Z / n \mathbb Z, +, \cdot)$ 是一个域当且仅当 $n$ 是一个素数。

注记 1.1.10

$\mathbb F$ 是个有限域，则 $|\mathbb F| = p^n$ 其中 $p$ 为一个素数，$n$ 为一个正整数。

任意含有元素个数相同的两个有限域总是同构的。

1.2 线性方程组，Gauss消元法与矩阵

定义 1.2.1

线性方程组

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{m1}x_1 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$$

有 $n$ 个未知量或变元，$a_{ij}$为系数，$b_i$为常数项。

如果 $b_1 = \cdots = b_m = 0$ 那么称为一个齐次线性方程组（我们关注它是否有非零解）。

注记 1.2.1

设 $\mathbb F = \mathbb R$ 那么 $n = 2$ 时解就是直线交，$n = 3$ 时就是平面的交。

引理 1.2.2

初等变换将一个线性方程组变为一个同解的线性方程组。

• 交换两个方程组位置；
• 用一个非零的数乘某一个方程；
• 将一个方程的倍数加到另一个方程

考虑高斯消元过程，可化为阶梯形。

命题 1.2.3

每一个线性方程组都与一个阶梯形线性方程组同解。

定理 1.2.4

线性方程组的无解、有解、唯一解、无穷多解判定。

无穷多解的情况中，称未知量 $x_{i_{r+1}}, \dots, x_{i_n}$ 为方程组的一组自由未知量。

推论 1.2.5

若一个齐次线性方程组所含方程个数小于它的未知量个数，则该方程组一定有非零解。

并称其为相伴的齐次线性方程组或导出组。

推论 1.2.6

方程组有唯一解当且仅当导出组只有零解。

定义 1.2.7

定义 $m \times n$ 矩阵，和 $a_{i,j}$ 为第 $i$ 行第 $j$ 列元素简称为 $(i,j)$ 元素。

$M_{m,n} (\mathbb F)$ 为数域 $\mathbb F$ 所有 $m \times n$ 矩阵构成的集合。

定义线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，然后可以定义矩阵的初等行/列变换。

命题 1.2.8

重新叙述 命题1.2.3 。

任意一个 $m \times n$ 矩阵可以通过初等行变换化为如下形式的阶梯形矩阵。

其中 $a_{1,i_1}, \cdots,a_{r,i_r}$ 都是非零数，称为主元。

1.3 n维向量空间

定义 1.3.1

设 $\mathbb F$ 是一个数域，$\mathbb F$ 中 $n$ 个数构成有序数组 $\alpha = (a_1, \dots, a_n)$ 称为 $\mathbb F$ 上一个 $n$ 维（行）向量。

并且记 $\mathbb F^n = \{(a_1, \dots, a_n) ~|~ a_1, \dots, a_n \in \mathbb F\}$

称 $\mathbb F^n$ 与其上的加法运算和数乘运算合称为 $\mathbb F$ 上的 $n$ 维向量空间。

线性方程组亦可用向量表示为 $x_1 \beta_1 + \dots + x_n \beta_n = \beta$ （$\beta$ 为列向量）

定义 1.3.2

定义 线性组合 和 线性表示。

定义 1.3.4

$n$ 维向量空间 $\mathbb F^n$ 的一个非空子集合称为一个子空间，如果对于 $\forall \alpha, \beta \in W$ 以及任意 $\lambda \in \mathbb F$ 都有 $\alpha + \beta \in W, \lambda \alpha \in W$ 。

称 $\mathcal L(\alpha_1, \cdots, \alpha_s)$ 为 $\mathbb F^n$ 的由 $\alpha_1, \cdots, \alpha_s$ 张成的子空间。

一般地 $S$ 是 $\mathbb F^n$ 任意一个子集合，则
$\mathcal L(\alpha_1, \dots, \alpha_s) = \{a_1 \alpha_1 + \cdots + a_m \alpha_m ~|~ m \ge 0, \alpha_i \in S, a_i \in \mathbb F, \forall 1 \le i \le m\}$
称为由 $S$ 张成的子空间。

定义 1.3.5

定义 线性相关 和 线性无关。

例 1.3.6

一个齐次线性方程组有非零解 $\Leftrightarrow$ 其系数矩阵的列向量是线性相关的。

定义 1.3.7

定义 极大（线性）无关组

命题 1.3.9

$S$ 是 $n$ 维向量空间 $\mathbb F^n$ 中的一个含有非零向量的向量组，则 $S$ 一定有极大无关组。

对 $n$ 进行数学归纳证明即可，分类讨论有无大小为 $n$ 的极大无关组。

定义 1.3.10

$S, T$ 是 $n$ 维向量空间 $\mathbb F^n$ 中的两个向量组，若 $S$ 中每个向量都能由 $T$ 表示，则称 $S$ 可由 $T$ 线性表示（即 $\mathcal L(S) \subseteq \mathcal L(T)$）。若 $S, T$ 可以互相线性表示，则称 $S, T$ 是等价的（$\mathcal L(S) = \mathcal L(T)$）。

定理 1.3.11(Steinitz Exchange Lemma)

设 $\{\alpha_1, \dots, \alpha_r\}$ 与 $\{\beta_1, \dots, \beta_s\}$ 是向量空间 $\mathbb F^n$ 中两个向量组，若 $\{\alpha_1, \dots, \alpha_r\}$ 线性无关且可由 $\{\beta_1, \dots, \beta_s\}$ 线性表示，则 $r \le s$ 。

并且必要时对 $\{\beta_1, \dots, \beta_s\}$ 重新编号，，用 $\alpha_1, \dots, \alpha_r$ 替换 $\beta_1, \dots, \beta_r$ 所得向量组 $\{\alpha_1, \dots, \alpha_r, \beta_{r+1}, \dots, \beta_s\}$ 与 $\{\beta_1, \dots, \beta_s\}$ 等价。

同样对 $r$ 进行数学归纳证明，每次找到一个系数非零的用其余线性表示即可。

推论 1.3.12

若 $\{\alpha_1, \dots, \alpha_s\}$ 可由 $\{\beta_1, \dots, \beta_t\}$ 线性表示，且 $s > t$，那么 $\{\alpha_1, \dots, \alpha_s\}$ 线性相关（逆否命题）。

特别地，$\mathbb F^n$ 中任意 $n + 1$ 个向量总线性相关。

推论 1.3.13

• 设 $\{\alpha_1, \dots, \alpha_r\}$ 与 $\{\beta_1, \dots, \beta_s\}$ 是向量空间 $\mathbb F^n$ 中两个等价的极大无关组，则 $r = s$ （因为 $r \le s, s \le r$ ）
• 一个向量组的所有极大线性无关组所含向量个数一定相同

定义 1.3.14

定义向量组的秩，记作 $\mathrm r(S)$ 或 $\mathrm{rank}(S)$ 。

推论 1.3.15

等价的向量组有相同的秩。

推论 1.3.16

设 $S = \{\alpha_1, \dots, \alpha_m\}$ 为 $\mathbb F^n$ 中一个向量组。若 $\alpha_{i_1}, \dots, \alpha_{i_t}$ 线性无关，则 $t \le \mathrm{rank}(S)$ 且 $\alpha_{i_1}, \dots, \alpha_{i_t}$ 可以扩充为 $S$ 的一个极大无关组。

找到极大线性无关组，用 Steinitz 替换定理。

定义 1.3.17

设 $W$ 是 $\mathbb F^n$ 的一个子空间，若 $W$ 中存在线性无关的向量 $\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_s$ 使得 $W$ 中每个向量均可由 $\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_s$ 线性表示，则称 $\{\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_s\}$ 为 $W$ 的一个基，且 $s$ 为 $W$ 的维数，记作 $\mathrm{dim} W = s$ 。

规定零空间 $\textbf 0$ 的维数等于 $0$ ，记作 $\mathrm{dim} \textbf 0 = 0$ 。

命题 1.3.19

• 若 $W$ 是 $\mathbb F^n$ 的一个子空间，则 $\mathrm{dim} W \le n$
• 若 $W_1, W_2$ 是 $\mathbb F^n$ 的两个子空间且 $W_1 \subseteq W_2$ ，则 $W_1$ 每一个基从可以扩充成 $W_2$ 的一个基

1.4 矩阵的秩与线性方程组有解判别准则

定义 1.4.1

定义 行/列空间 和 行/列秩。

引理 1.4.3

矩阵的行秩与列秩在初等（行、列）变化下不变。

行秩讨论即可，列秩需要证明一个关于极大无关组不变的引理。

定理 1.4.4

矩阵行秩等于列秩。

化为上阶梯形矩阵，然后对行、列秩分别说明一下即可。

定义 1.4.5

矩阵 $A$ 的行秩和列秩称为 $A$ 的 秩，记作 $\mathrm r(A)$ 或 $\mathrm {rank}(A)$ 。

注记 1.4.6

假设通过初等行变换将矩阵 $A$ 化为阶梯型矩阵 $B$ 则 $A$ 的秩恰为 $B$ 中主元的个数。而且，$A$ 中位于 $B$ 中主元所在列的列向量，是 $A$ 的列向量组的一个极大无关组。

定理 1.4.7

可以通过初等变换把 $A$ 化成

$$\begin{pmatrix} \mathrm{diag}\{1\} &0\\ 0 &0\\ \end{pmatrix}$$

其中 $1$ 出现次数为 $\mathrm r(A)$ 。

命题 1.4.9

$\mathrm r(A) = \mathrm r(A^T)$

例 1.4.10

• 设 $C = \begin{pmatrix} A & 0\\ 0 & B\\ \end{pmatrix}$ 则 $r(C) = r(A) + r(B)$ 。

  直接将 $A, B$ 极大线性无关组拼接即可。

• 设 $A$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，在 $A$ 中取出 $s$ 行作一个 $s \times n$ 矩阵 $B$ 。则
  $\mathrm r (B) \ge \mathrm r (A) + s - m$ 。

  用 $r(A) \le m$ 去证。

定理 1.4.11(Kronecker-Capelli)

线性方程组有解的充要条件是 $\mathrm r(A) = \mathrm r(\tilde A) = r$ 。
在有解情况下 $r = n$ 时，有唯一解；$r < n$ 时有无穷多解。

就是 $\beta$ 可以被 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 线性表示，可以证明扩展出的子空间的维度一样。

然后解的个数就取决于线性表示的方法种数，然后讨论即可。

注记 1.4.12

可以先化为阶梯型矩阵，再利用定理1.2.4给出证明。

推论 1.4.13

若 $n$ 元齐次线性方程组的系数矩阵 $A$ 的秩为 $r$

• 若 $r = n$ ，则方程组仅有零解；
• 若 $r < n$ ，则方程组有无穷多解。

1.5 线性方程组的结构

把齐次方程组的解看做 $n$ 维列向量，令
$W = \{(c_1, \dots, c_n)^T \in \mathbb F^n ~|~ \sum_{i = 1}^n c_i \alpha_i = 0\}$ 即方程组所有解构成的集合。

有 $W$ 是 $\mathbb F^n$ 的解空间，亦称为矩阵 $A$ 的零空间 。易见，$W = 0$ 当且仅当 $\mathrm r(A) = n$ 。

定义 1.5.1

解空间 $W$ 的基 $\{\eta_1, \dots, \eta_s\}$ 称为方程组的一个基础解系。

定理 1.5.2

设 $\mathrm r = \mathrm r(A) < n$ 则 $\mathrm{dim} W = n - r$ ，即基础解系恰好含有 $n - r$ 个向量。

Gauss消元后得到上三角，然后回代出 $x_1, \dots, x_r$ 的解，对 $x_{r + 1}, \dots, x_n$ 取特值（只在一处取 $1$ ），可得到 $n - r$ 个解，它们线性无关。

然后由回代的式子，可知任意解都可以由 $\eta_1, \dots, \eta_{n - r}$ 线性表示，即其为一组基础解系。

注记 1.5.3

• 求解过程中交换次序，最后通过调整即可得原齐次方程组的基础解系。
• 根据上述定理，齐次线性方程组的任意一组自由未知量所含向量个数皆为 $n - \mathrm r(A)$

定理 1.5.5

设方程组有解，且 $\gamma$ 是其任意一个特解。则其解集为
$\gamma + W = \{\gamma + \eta ~|~ \eta \in W\}$ 。

从两面证解空间的包含性，即可推相等

至于具体求解，还是考虑将左上角消成 $\mathrm{diag}\{1\}$ ，然后此时有 $\gamma = (d_1, \dots, d_r, 0, \dots, 0)^T$ ，然后后面同上即可。

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本文作者：zjp_shadow
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