完备性定理之间的等价证明

确界存在 ⇒ 有限覆盖

$[a, b]$ 被 $\{I_\lambda\}$ 覆盖，对于 $\forall S \subset \{I_\lambda\}$ 使得 $S$ 有限，覆盖 $a$ （这样的 $S$ 总能找到）

定义 $B = \{y \in [a, b] ~|~ [a, y] 被有限 S \subset I_\lambda 覆盖\}$ $B$ 有界，故有上确界。

下证 $b = \sup B$ 。

反证法：设上确界为 $y_0 < b$ ，则 $\exist I_{\lambda_0}$ 使得 $y_0 \in I_{\lambda_0}$ 。

故 $\exist \varepsilon_0$ 使得 $(y_0 - \varepsilon_0, y_0 + \varepsilon_0) \subset I_{\lambda_0}$ 。

$\because$ $y_0$ 是上确界则 $\exist y \in B$ 使 $y_0 - y < \frac {\varepsilon_0}{2}$

$\therefore$ $\exist$ 有限 $S$ 覆盖 $[a, y_0]$ 则 $S \cup I_{\lambda_0}$ 覆盖 $[a, y_0 + \frac{\varepsilon_0} 2 ]$

$\therefore$ $b$ 为上确界 则 $\exist I_{\lambda_0}$ 使得 $(b - \varepsilon, b + \varepsilon) \subset I_{\lambda_0}$

$\exist S'$ 覆盖 $[a, y_0]$ 有 $[a, b] \subset S' \cup \{I_{\lambda_0}\}$ 。

问题1.9 B-W ⇒ 有限覆盖

问题 1.8.5 闭区间套 ⇒ B-W

设 $\{x_0\} \subset [a, b]$ 二分 $[a, b]$ 取包含无限 $\{x_n\}$ 的一半为 $[a_1, b_1]$ 令某个 $x_{n_1} \in [a_1, b_1]$ 再二分 $[a_1, b_1]$ 。

由此得到一列 $[a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset \cdots \supset [a_k, b_k] \supset \cdots$ 以及 $\{x_{n_k}\}$ 使得 $x_{n_k} \in [a_k, b_k]$ 则 $\exist$ 唯一 $x \in [a_k, b_k]$

有 $0 \le |x_{n_k} - x| < b_k - a_k$ $\therefore \lim_{k \to \infty} (x_{n_k} - x) = 0$

有限覆盖 ⇒ 闭区间套

设 $[a_1, b_1] \supset \cdots \supset [a_n, b_n] \supset \cdots$ 且 $\lim_{n \to \infty} |b_n - a_n| = 0$ 假设 $\bigcap_{n=1}^\infty [a_n, b_n] = \empty$

构造 $(a_1 - \varepsilon, a_n)$ 和 $(b_n, b_1 + \varepsilon)$ 由假设 $\forall x \in [a_1, b_1]$ ，

$\exist n$ 使得 $x \notin [a_n, b_n]$ 则 $x < a_n \Rightarrow x \in(a_1 - \varepsilon, a_n)$ 或 $x > b_n \Rightarrow x \in (b_n, b_1 + \varepsilon)$

故为 $[a_1, b_1]$ 的开覆盖，则存在有限子覆盖。

$\therefore$ 可设为 $(a_1 - \varepsilon, a_{i_1}), (a_2 - \varepsilon, a_{i_2}), \dots, (a_1 - \varepsilon, a_{i_k})$ 和 $(b_{j_1}, b_1 + \varepsilon), \dots, (b_{j_l}, b_1 + \varepsilon)$

取 $n > \max\{i_1, \dots, i_k, b_{j_1}, \dots, b_{j_k}\}$
则 $a_n, b_n$ 也能被覆盖 但 $a_n \ge a_{i_1}, \dots, a_{i_k}$ 与 $b_n \le b_{j_1}, \dots, b_{j_l}$ 不能被覆盖。 矛盾。

有限覆盖 ⇒ 确界存在

反证法。设 $S$ 有上界 $a$ 且 $S \notin \empty$ 但无上确界，取 $x \in S$ 则 $x \le a$ 考虑 $[x, a]$ $\forall y \in [x, a]$ 构建开区间。

当 $y$ 为上界，由假设 $\exist \varepsilon_y > 0$ 使得 $y - \varepsilon_y$ 也是上界。

令 $U_y = (y - \varepsilon_y, y + \varepsilon_y)$ ，当 $y$ 不是上界的时，$\exist \varepsilon > 0$ 使得 $y + \varepsilon$ 也不是上界。

当 $y$ 为上界，$\exist \varepsilon_y > 0$ 使得 使得 $y + \varepsilon_y$ 也不是上界。

令 $U_y = (y - \varepsilon_y, y + \varepsilon_y)$

$\therefore \{U_y ~|~ y \in [x, a]\}$ 为 $[x, a]$ 的开覆盖

$\therefore$ 有限子覆盖 $(a_1, b_1), \dots, (a_n, b_n)$

取所有是上界的 $a_i$ 令其最小值为 $a_{i_0}$ ，则 $a_{i_0}$ 为上界，$a_{i_0} - \varepsilon$ 无法被 $\{(a_i, b_i)|i为上界\}$ 覆盖，则 $\exist (a_j, b_j)$ 覆盖

$a_{i_0} - \varepsilon$ 而 $a_i$ 不是上界，由构造 $b_j$ 不是上界与 $a_{i_0} - \varepsilon < b_j$ 矛盾。

Cauchy收敛 ⇒ 闭区间套

$\forall \varepsilon > 0, \exist N \in \mathbb N^+$ 使得 $b_N - a_N < \varepsilon$

$\forall m, n > N, a_m a_n \in [a_N, b_N]$ 则 $|a_m - a_n| < \varepsilon$ ，则 $\{a_n\}$ 是 $\text{Cauchy}$ 列 $\exist$ 极限

同理 $\lim_{n \to \infty} b_n$ 存在 且 $= \lim_{n \to \infty} a_n$ 则 $\{a_n\}$ 递增 $\lim_{n \to \infty} a_n \ge a_n$ 同理 $\le b_n$ 故 $\in [a_n, b_n]$ 。

唯一性 假设 $a < a'$ 均为极限，则 $[a, a'] \subseteq [a_n, b_n]$ $\lim_{n \to \infty}(b_n - a_n) \ge a' - a > 0$ 矛盾

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本文作者：zjp_shadow
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