CS Academy Sliding Product Sum（组合数）

题意

有一个长为 $N$ 的序列 $A = [1, 2, 3, \dots, N]$ ，求所有长度 $\le K$ 的子串权值积的和，对于 $M$ 取模。

$N \le 10^{18}, K \le \min(600, n), M \le 10^{18}$

题解

一道还有些意思的组合数学题 qwq

一开始觉得这不是 $K$ 次多项式么，直接插值QAQ 发现模数不给，逆元可能都没有，太不友好啦。

令 $ans_k$ 为长度为 $k$ 的子串的贡献和。其实我们就是求对于所有 $k \le K$ 的 $ans_k$ 的和。

先推推式子。

\begin{aligned} a n s_{k} & = \sum_{i = k}^{n} \frac{i!}{(i - k)!} \\ = k! \sum_{i = k}^{n} (\binom{i}{k}) \\ = k! (\binom{n + 1}{k + 1}) \end{aligned}

$\begin{aligned} ans_k &= \sum_{i = k}^{n} \frac{i!}{(i - k)!}\\ &= k! \sum_{i = k}^{n} {i \choose k}\\ &= k! {n + 1 \choose k + 1} \end{aligned}$

那么我们最后就是求对于所有 $k \le K$ 的 $k!$ 和 $\displaystyle {n + 1 \choose k +1}$ 。

前者很好求，对于后者么。。。组合数， $n$ 好大。。 $Lucas$ ？ $m$ 也好大。。。弃疗

但我们会发现 $k$ 其实不是很大QAQ

我们需要知道有这样一个东西

(\binom{n + m}{r}) = \sum_{k = 0}^{r} (\binom{n}{k}) \times (\binom{m}{r - k})

${n + m \choose r} = \sum_{k = 0}^{r} {n \choose k} \times {m \choose r - k}$

为什么呢？思考一下组合意义就很明显啦。

当 $n = m$ 的时候就有

(\binom{2 n}{r}) = \sum_{k = 0}^{r} (\binom{n}{k}) \times (\binom{n}{r - k})

${2n \choose r} = \sum_{k = 0}^{r} {n \choose k} \times {n \choose r - k}$

有了这个就很好做啦~

我们维护一个序列 $A_i$ 为 $\displaystyle [{i \choose 0}, {i \choose 1}, \dots, {i \choose K + 1}]$ 。最后我们要求的就是 $A_{N + 1}$ 。

那么有前面那个式子，我们就可以倍增求出 $A_n$ 啦。

所以复杂度是 $O(k^2 \log n)$ 的。（默认不适用慢速乘，用 __int128 ）

前面那个是卷积的形式，也可以用 $FFT$ 优化到 $O(k \log k \log n)$ ，但由于模数很鬼畜，似乎没有那么优秀。

代码

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for (register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for (register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Rep(i, r) for (register int i = (0), i##end = (int)(r); i < i##end; ++i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << (x) << endl

using namespace std;

using ll = __int128;

template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return b > a ? a = b, 1 : 0; }

template<typename T>
inline T read() {
	T x(0), sgn(1); char ch(getchar());
	for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') sgn = -1;
	for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
	return x * sgn;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
	freopen ("sliding-product-sum.in", "r", stdin);
	freopen ("sliding-product-sum.out", "w", stdout);
#endif
}

const int N = 610;

ll n, Mod; int k;

struct Array {

	ll a[N];

	Array() { Set(a, 0); }

	inline Array friend operator * (const Array &lhs, const Array &rhs) {
		Array res;
		For (i, 0, k) For (j, 0, k - i)
			res.a[i + j] = (res.a[i + j] + lhs.a[i] * rhs.a[j]) % Mod;
		return res;
	}

};

ll fac[N];

Array fpm(Array x, ll power) {
	Array res = x; -- power;
	for (; power; power >>= 1, x = x * x)
		if (power & 1) res = res * x;
	return res;
}

int main() {

	File(); 

	n = read<ll>() + 1;
	k = read<int>() + 1;
	Mod = read<ll>();

	Array base; base.a[0] = base.a[1] = 1;

	Array prod = fpm(base, n);

	fac[0] = 1;
	For (i, 1, k) fac[i] = fac[i - 1] * i % Mod;

	ll ans = 0;
	For (i, 2, k)
		ans = (ans + fac[i - 1] * prod.a[i]) % Mod;
	printf ("%lld\n", (long long)(ans));

	return 0;

}

__EOF__

本文作者：zjp_shadow
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