导数相关

导数运算法则

$$[f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)$$
$$[f(x) * g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$
$$[\frac{f(x)}{g(x)}]' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} (g(x)\neq 0)$$
$$[cf(x)]' = c f'(x)$$

$$(x^n)' = nx^{n - 1}$$
$$(sinx)' = cosx$$
$$(a^x)' = a^xlna$$
$$(e^x)' = e^x$$
$$(log_{a}x)' = \frac{1}{xlna}$$
$$(lnx)' = \frac{1}{x}$$

复合函数 $y = f(g(x))$ 的导数和函数 $y = f(u), u = g(x)$ 的导数之间的关系为
$$y_x' = y_u' * u_x'$$

 

定积分

函数 $f(x)$ 在 区间 $[a, b]$ 上连续，用分点 $$a = x_0 < x_1 < ... < x_{i - 1} < x_i < ... < x_n = b$$
将区间 $[a, b]$ 等分成 $n$ 个小区间，在每个小区间 $[x_{i - 1}, x_i]$ 上任取一点 $\varepsilon_{i} (i = 1,2,3...n)$, 做和式 $$\sum_{i = 1} ^ {n} f(\varepsilon_{i}) \Delta x = \sum_{i = 1}^{n} f(\varepsilon_{i})\frac{b-a}{n}$$
当 $n \to \infty$ 时， 上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分，记做 $$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n}f(\varepsilon_i) \frac{b - a}{n},$$
这里，$a$ 与 $b$ 分别叫做积分下限与积分上限， $[a, b]$ 叫做积分区间，函数 $f(x)$ 叫做被积函数， $x$ 叫做积分变量， $f(x)dx$ 叫做被积式。

几何意义
从几何上看，如果在区间 $[a, b]$ 上的函数 $f(x)$ 连续且 $f(x) \ge 0$, 那么定积分 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 表示由直线 $x = a, x = b (a \ne b), y = 0$ 和曲线 $y = f(x)$ 所围成的图形的面积。

 

微积分基本定理：
一般地，如果 $f(x)$ 是区间上 $[a, b]$ 的连续函数，并且 $F'(x) = f(x)$， 那么 $$\int_a^bf(x)dx = F(b) - F(a)$$
$F(b) - F(a)$ 通常记成 $F(x)\mid_a^b$
$$\int_a^bf(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)\mid_a^b$$
因此计算定积分 $\int_a^b$ 的关键是找到满足 $F'(x) = f(x)$ 的函数 $F(x)$, $F$ 是 $f$ 的不定积分

计算 $\int_1^3(2x - \frac{1}{x^2})dx$
因为 $$(x^2)' = 2x, (\frac{1}{x})' = - \frac{1}{x^2},$$
所以
\begin{align}
\int_1^3(2x - \frac{1}{x^2})dx &= \int_1^32xdx - \int_1^3 \frac{1}{x^2}dx \\
&= x^2 \mid_1^3 + \frac{1}{x} \mid_1^3 \\
&= (9 - 1) + (\frac{1}{3} - 1) \\
&= \frac{22}{3}.
\end{align}