【JZOJ3672】【JSOI2014】拼图(puzzle)

题目大意

将一个$n*m$的01矩阵沿着列切几刀，拆成若干个$n*w_i$大小的矩阵，你可以重新任意排列它们来拼成一个新的$n*m$的01矩阵，使得矩阵中最大的全0矩形面积最大。

Solution#

这题关键在于$n*m\leq 10^5$，即矩阵大小不超过$10^5$。一种直觉是平衡规划，即分$n\leq \sqrt{10^5}$和$m\leq \sqrt{10^5}$两种情况分别设计算法。

• $n\leq \sqrt{10^5}$

枚举最终全0矩形的上下边界$l,r$，然后对每个小矩阵分类。若小矩阵内第$l$行至第$r$行全部为0，分为I类，否则分为II类。

最后肯定是把I类的矩阵放在中间，两边放II类的矩阵来凑成一个全0矩形，那么，我们需要计算I类矩阵宽度之和，以及II类矩阵在左边最多几列为全0，右边最多几列为全0。需要注意的是，左右不能用II类矩阵中的同一个，所以我们还要记录一下次大值，不能用最大值时用次大值替换。

时间复杂度$O(n^2m)=O(10^5n)$，$n$是根号级别的，显然不会超时。

• $m\leq 10^5$

这时就不能直接枚举矩形的上下边界了，我们可以用另一种方法枚举上下边界：

记录矩形中每个点$(i,j)$往上第一个$1$的行号（记作$up[i][j]$）。枚举矩形中的每个点$(i,j)$，将$up[i][j]$作为上边界，$i$作为下边界。（替换了原来暴力枚举的上边界$r$，下边界$l$）

剩下的过程套用上面的即可，时间复杂度$O(nm^2)=O(10^5m)$，$m$是根号级别的，也不会超时。

至此，问题解决。

Code#

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=100007;

int T;
int s,n,m,ans,w[N],st[N],en[N],sum[N],a[N],up[N];

int id(int x,int y){
	if(x<1||y<1)return 0;
	return (y-1)*n+x;
}
int get(int x1,int x2,int y1,int y2){
	return sum[id(x2,y2)]-sum[id(x1-1,y2)]-sum[id(x2,y1-1)]+sum[id(x1-1,y1-1)];
}

void calc(int l,int r){
	for(int i=1;i<=s;++i)for(int j=st[i],ret=0;j<=en[i];++j){
		if(get(l,r,j,j)==0)++ret;
		else ret=0;
		ans=max(ans,(r-l+1)*ret);
	}
	int L[2][2],R[2][2],mid=0;
	memset(L,0,sizeof(L));
	memset(R,0,sizeof(R));
	for(int i=1;i<=s;++i){
		int mxl=0,mxr=0;
		for(int j=st[i];j<=en[i];++j)if(get(l,r,j,j)==0)++mxl;else break;
		for(int j=en[i];j>=st[i];--j)if(get(l,r,j,j)==0)++mxr;else break;
		if(mxl==w[i])mid+=w[i];
		else{
			if(mxl>L[0][0])L[0][0]=mxl,L[0][1]=i;
			else if(mxl>L[1][0])L[1][0]=mxl,L[1][1]=i;
			if(mxr>R[0][0])R[0][0]=mxr,R[0][1]=i;
			else if(mxr>R[1][0])R[1][0]=mxr,R[1][1]=i;
		}
	}
	for(int p=0;p<2;++p)for(int q=0;q<2;++q)if(L[p][1]!=R[q][1])ans=max(ans,(r-l+1)*(mid+L[p][0]+R[q][0]));
	ans=max(ans,(r-l+1)*(mid+L[0][0]));
	ans=max(ans,(r-l+1)*(mid+R[0][0]));
}

int main(){
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		m=ans=0;
		scanf("%d%d",&s,&n);
		memset(w,0,sizeof(w));
		memset(st,0,sizeof(st));
		memset(en,0,sizeof(en));
		memset(sum,0,sizeof(sum));
		memset(a,0,sizeof(a));
		memset(up,0,sizeof(up));
		for(int i=1;i<=s;++i){
			scanf("%d",&w[i]);
			st[i]=m+1;
			for(int j=1;j<=n;++j)for(int k=1;k<=w[i];++k){
				char c;scanf(" %c",&c);
				a[id(j,m+k)]=c-'0';
			}
			m+=w[i],en[i]=m;
		}
		for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j)sum[id(i,j)]=sum[id(i-1,j)]+sum[id(i,j-1)]-sum[id(i-1,j-1)]+a[id(i,j)];
		for(int j=1;j<=m;++j)
			for(int i=1,lst=0;i<=n+1;++i)
				if(i>n||a[id(i,j)]){
					for(int k=lst+1;k<=i-1;++k)up[id(k,j)]=i-1;
					lst=i;
				}
		if(n<m)for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=i;j<=n;++j)calc(i,j);
		else for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j)calc(i,up[id(i,j)]);
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}