【JZOJ6278】【NOIP提高组A】跳房子

题目大意

在一个$n*m$的矩阵上，一个格子$(x,y)$跳一步，将会到达$(x-1,y+1),(x,y+1),(x+1,y+1)$中权值最大的格子（保证没有相同权值）。矩阵是循环的，例如从第$m$列往右边跳会到第$1$列，从第$1$行往上跳会到第$n$行，从第$n$行往下跳会到第$1$行。
一个棋子放在$(1,1)$，现有两种操作：

• 询问棋子从当前位置跳$k$步后到了哪
• 修改某个格子的权值
  你需要回答所有询问

$n,m\leq 2000,k\leq 10^9$，操作数$q\leq 5000$，权值$e\leq 10^9$。

分析

这题最关键的是要发现循环节。

一个点$(x,y)$最多跳$n*m$遍就会跑进一个环里面。对于每个询问，我们用$O(nm)$的时间就能把这个环找出来，就不用暴力跳$k$步了。

现在的问题是，$O(nm)$找环还是太慢了，是否有更快的方法？

假设棋子从第一列出发，如果能一次跳$m$步，我们找环的时间就是$O(n)$了。所以，若棋子不在第一列，我们就暴力跳到第一列，时间复杂度是$O(m)$。

那么如何维护第一列各行跳$m$步所到达行？DoggyZheng大爷提供了一种神奇的方法：

用一棵下标$[1,m]$的线段树，节点$[l,r]$开一个大小为$n$的数组，表示第$l$列各行跳$r-l+1$步后到达了第$r+1$列的哪一行

线段树的根代表区间是$[1,m]$，你要查询第一列某一行跳$m$步所到达行，直接用根的信息$O(1)$查询就行了。

线段树信息复杂度是$O(n)$，每次修改更改节点数是$O(logm)$，修改复杂度就是$O(nlogm)$，由于此题时限$4s$，很轻松就过掉了。

总而言之，这题的关键点就两个：

• 想到每次跳$m$步来更快找循环节
• 用线段树维护

emmmm，很有价值的一道题。

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define F(i, l, r) for (int i = l; i <= r; ++i)
#define lson rt << 1
#define rson rt << 1 | 1

const int N = 2007;
inline int read()
{
	int x = 0, f = 0;
	char c = getchar();
	for (; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) if (c == '-') f = 1;
	for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ '0');
	return f ? -x : x;
}

int n, m, q, tx, ty, a[N][N], vis[N];
char opt;
int getnext(int x, int y)
{
	int x1 = x > 1 ? x - 1 : n, x2 = x < n ? x + 1 : 1, y1 = y < m ? y + 1 : 1;
	if (a[x1][y1] > a[x][y1] && a[x1][y1] > a[x2][y1]) return x1;
	if (a[x][y1] > a[x1][y1] && a[x][y1] > a[x2][y1]) return x;
	if (a[x2][y1] > a[x][y1] && a[x2][y1] > a[x1][y1]) return x2;
}

int go[N << 2][N];
void ins(int rt, int l, int r, int po, int c)
{
	if (l == r) { go[rt][c] = getnext(c, po); return; }
	int mid = l + r >> 1;
	if (po <= mid) ins(lson, l, mid, po, c);
	else ins(rson, mid + 1, r, po, c);
	F(i, 1, n) go[rt][i] = go[rson][go[lson][i]];
}
void build(int rt, int l, int r)
{
	if (l == r) { F(i, 1, n) go[rt][i] = getnext(i, l); return; }
	int mid = l + r >> 1;
	build(lson, l, mid), build(rson, mid + 1, r);
	F(i, 1, n) go[rt][i] = go[rson][go[lson][i]];
}

int main()
{
	freopen("jump.in", "r", stdin);
	freopen("jump.out", "w", stdout);
	n = read(), m = read();
	F(i, 1, n) F(j, 1, m) a[i][j] = read();
	build(1, 1, m);
	q = read(), tx = 1, ty = 1;
	while (q--)
	{
		scanf(" %c", &opt);
		if (opt == 'm')
		{
			int k = read(), nx, cnt = 0;
			while (k > 0 && ty != 1) tx = getnext(tx, ty), ty = ty < m ? ty + 1 : 1, k--;
			if (!k) { printf("%d %d\n", tx, ty); continue; }
			memset(vis, 0, sizeof(vis));
			nx = tx;
			while (!vis[nx]) vis[nx] = 1, nx = go[1][nx], cnt += m;
			while (k >= m && tx != nx) tx = go[1][tx], k -= m, cnt -= m;
			if (tx != nx) while (k > 0) tx = getnext(tx, ty), ty = ty < m ? ty + 1 : 1, k--;
			else
			{
				k %= cnt;
				while (k >= m) tx = go[1][tx], k -= m;
				while (k > 0) tx = getnext(tx, ty), ty = ty < m ? ty + 1 : 1, k--;
			}
			printf("%d %d\n", tx, ty);
		}
		else
		{
			int x = read(), y = read(), e = read(), x1 = x > 1 ? x - 1 : n, x2 = x < n ? x + 1 : 1, y1 = y > 1 ? y - 1 : m;
			a[x][y] = e, ins(1, 1, m, y1, x1), ins(1, 1, m, y1, x), ins(1, 1, m, y1, x2);
		}
	}
	return 0;
}