牛客小白月赛16 H小阳的贝壳 （线段树+差分数组）

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/949/H
来源：牛客网

题目描述

小阳手中一共有 n 个贝壳，每个贝壳都有颜色，且初始第 i 个贝壳的颜色为 $\mathrm{colicoli\; 。现在小阳有\; 3\; 种操作：\; 1\; l\; r\; x：给\; [l,r][l,r]\; 区间里所有贝壳的颜色值加上\; xx\; 。\; 2\; l\; r：询问\; [l,r][l,r]\; 区间里所有相邻贝壳\; 颜色值的差（取绝对值）\; 的最大值（若\; l=rl=r\; 输出\; 0）。\; 3\; l\; r\; ：询问\; [l,r][l,r]\; 区间里所有贝壳颜色值的最大公约数。}$

输入描述:

第一行输入两个正整数 $\mathrm{n,mn,m，分别表示贝壳个数和操作个数。第二行输入\; nn\; 个数\; colicoli，表示每个贝壳的初始颜色。第三到第\; m+2m+2\; 行，每行第一个数为\; optopt，表示操作编号。接下来的输入的变量与操作编号对应。}$

输出描述:

共 m 行，对于每个询问（操作 2 和操作 3）输出对应的结果。

示例1

输入

5 6
2 2 3 3 3
1 2 3 3
2 2 4
3 3 5
1 1 4 2
3 2 3
2 3 5

输出

3
3
1
3

备注:

$\mathrm{1\le n,m\le 105,1\le coli,x\le 103,1\le opt\le 3,1\le l\le r\le n}$


解题思路：自己没写出来，看了题解感觉很有道理。根据gcd的性质有gcd(a,b)=gcd(a,b-a),有gcd(a,b,c)=gcd(a,b-a,c-b),可以联想到在线段树中建立一个差分数组，用线段树来维护区间和与区间gcd ，对于操作一直接进行单点更新l和r+1即可，对于操作二，我们可以用线段树维护差分数组的差的最大值和最小值，比较一下它们绝对值大小取绝对值大的那就就可以了，对于操作三，可以先查找出前l项的和即为第l个数的值，然后再和区间[l+1,r]上的gcd再求一下gcd就可以了。

代码：

//gcd(x,y,z)=gcd(x,y-x,z-y)=gcd(a,gcd(y-x,z-y))
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+7;
int n,m,a[maxn*4],Sum[maxn*4],Min[maxn*4],Max[maxn*4],Gcd[maxn*4];
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
void pushup(int rt){
    Sum[rt]=Sum[rt<<1]+Sum[rt<<1|1];
    Min[rt]=min(Min[rt<<1],Min[rt<<1|1]);
    Max[rt]=max(Max[rt<<1],Max[rt<<1|1]);
    Gcd[rt]=gcd(Gcd[rt<<1],Gcd[rt<<1|1]);
}
void build(int l,int r,int rt){
    if(l==r){
        Sum[rt]=Min[rt]=Max[rt]=Gcd[rt]=a[l]-a[l-1];
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    build(l,mid,rt<<1);
    build(mid+1,r,rt<<1|1);
    pushup(rt);
}
void update(int pos,int val,int l,int r,int rt){
    if(l==r){
        Sum[rt]+=val;
        Min[rt]+=val;
        Max[rt]+=val;
        Gcd[rt]+=val;
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    if(mid>=pos) update(pos,val,l,mid,rt<<1);
    if(mid<pos) update(pos,val,mid+1,r,rt<<1|1);
    pushup(rt);
}
int query_sum(int L,int R,int l,int r,int rt){
    if(L>R) return 0;
    if(L<=l&&R>=r){
        return Sum[rt];
    }
    int mid=l+r>>1,res=0;
    if(mid>=L) res+=query_sum(L,R,l,mid,rt<<1);
    if(mid<R) res+=query_sum(L,R,mid+1,r,rt<<1|1);
    return res;
}
int query_min(int L,int R,int l,int r,int rt){
    if(L>R) return 0;
    if(L<=l&&R>=r){
        return Min[rt];
    }
    int mid=l+r>>1,res=2e9+7;
    if(mid>=L) res=min(res,query_min(L,R,l,mid,rt<<1));
    if(mid<R) res=min(res,query_min(L,R,mid+1,r,rt<<1|1));
    return res;
}
int query_max(int L,int R,int l,int r,int rt){
    if(L>R) return 0;
    if(L<=l&&R>=r){
        return Max[rt];
    }
    int mid=l+r>>1,res=-(2e9+7);
    if(mid>=L) res=max(res,query_max(L,R,l,mid,rt<<1));
    if(mid<R) res=max(res,query_max(L,R,mid+1,r,rt<<1|1));
    return res;
}
int query_gcd(int L,int R,int l,int r,int rt){
    if(L>R) return 0;
    if(L<=l&&R>=r){
        return Gcd[rt];
    }
    int mid=l+r>>1,res=0;
    if(mid>=L) res=gcd(res,query_gcd(L,R,l,mid,rt<<1));
    if(mid<R) res=gcd(res,query_gcd(L,R,mid+1,r,rt<<1|1));
    return res;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    build(1,n,1);
    while(m--){
        int op,l,r,val;
        scanf("%d%d%d",&op,&l,&r);
        if(op==1){
            scanf("%d",&val);
            update(l,val,1,n,1);
            if(r<n) update(r+1,-val,1,n,1);
        }else if(op==2){
            printf("%d\n",max(-query_min(l+1,r,1,n,1),query_max(l+1,r,1,n,1)));
        }else{
            printf("%d\n",abs(gcd(query_sum(1,l,1,n,1),query_gcd(l+1,r,1,n,1))));
        }
    }
    return 0;
}