codevs 2606 约数和（分块优化数学公式 ）
题目背景
Smart最近沉迷于对约数的研究中。
题目描述
对于一个数X，函数f(X)表示X所有约数的和。例如：f(6)=1+2+3+6=12。对于一个X，Smart可以很快的算出f(X)。现在的问题是，给定两个正整数X,Y(X<Y)，Smart希望尽快地算出f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值，你能帮助Smart算出这个值吗？
输入输出格式
输入格式：
输入文件仅一行，两个正整数X和Y（X<Y），表示需要计算f(X)+f(X+1)+……+f(Y)。
输出格式：
输出只有一行，为f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值。
输入输出样例
说明
对于20%的数据有1≤X＜Y≤105。
对于60%的数据有1≤X＜Y≤1*107。
对于100%的数据有1≤X＜Y≤2*109。
解题思路：首先我们定义一个F(x)=Σf(i)(i=1~x),所表示的是1-x的约数和，那么我们要求的答案即可表示成F(y)-F(x-1),现在的问题是对于任意x怎么求出F(x),我们知道对于任意一个数x在区间[1,n]中将会有n/x个数是x的倍数，所以我们就可以得到F(x)=Σi*(n/i) (i=1-x),我们可以举个例子：
例如：x=6；
由题目定义函数f(X)表示X所有约数的和
f(1)=1；
f(2)=1+2;
f(3)=1+3;
f(4)=1+2+4;
f(5)=1+5;
f(6)=1+2+3+6;
F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1*6+2*3+3*2=4*1+5*1+6*1,我们就可以发现对于每个约数i，其对应的系数为x/i。
不过我们可以很容易发现这种做法的复杂度为O(y),而y的范围为1≤Y≤2*109，这样做肯定是超时的，所以我们必须想办法对我们的公式进行优化，又由公式F(x)=∑(⌊x/i⌋∗i) (其中i=1~x) ,我们经过分析会发现由于x/i向下取整的特性，会导致有连续多个i对应x/i的值相同，我们可以举个例子：
对于当x=12，F（12）来说：
约数i： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
对应系数x/i: 12 6 4 3 2 2 1 1 1 1 1 1
对于刚才的思路我们是直接枚举求和即F(12)=1*12+2*6+3*4+4*3+5*2+6*2+7*1+8*1+9*1+10*1+11*1+12*1，而这必定也会超时的。
但是由上面列举的情况我们可以发现，对于同一个系数，出现多个i值时，这些i的值时成等差数列的，对于该部分我们可以把它看成是一块，即采用分块思想，该部分我们可以直接采用等差求和公式O（1）便可得出结果，即假设约数i=l到i=r，其对应的系数x/i都为同一个值时，该部分对答案的贡献值为（r-l+1）*(l+r)/2再乘对应权值即x/i;采用这种思路的话，上面的例子我们的计算方法就变成
F(12)=12*(1-1+1)*(1+1)/2+6*(2-2+1)*(2+2)/2+4*(3-3+1)*(3+3)/2+3*(4-4+1)*(4+4)/2+2*(6-5+1)*(5+6)/2+1*(12-7+1)*(7+12)/2;
当n很大时，这样便可以大大提高算法的效率了。
不过对上面公式中出现的l和r怎么求呢？l比较好求，观察上面的数列，每计算一次l就变成上一个r加1，初始l=1。
而对于r，r=x/(x/l);其中x/l表示的是系数，我们需要找到一个最大的数r使得x/r=x/l，即r=x/(x/l),例如例子中l=7时，我们需要找到一个最大的数r使得12/r=12/7,所以r=12/(12/7);
这样我们的思路就理顺了，
首先初始化l=1，r=0,ans=0,
计算r的值r=x/(x/l);
利用等差求和公式求系数为x/i的约束对答案的贡献，即ans+=(x/l)*（r-l+1）*(r+1)/2;
l=r+1,进入下一块区域。
代码：
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; typedef long long LL; const LL maxn=1e6+10; int n,q,m,r,tot,time; LL cal(LL x){ LL l=1,r=0,ans=0; while(l<=x){ r=x/(x/l); //计算这块的右边界 ans+=(x/l)*(r-l+1)*(l+r)/2; //答案加上系数为x/l的块的贡献值 等差求和 l=r+1; } return ans; } int main(){ LL x,y; cin>>x>>y; cout<<cal(y)-cal(x-1)<<endl; return 0; }
