Libre OJ 130、131、132 （树状数组 单点修改、区间查询 -> 区间修改，单点查询 -> 区间修改，区间查询）

 这三题均可以用树状数组、分块或线段树来做

#130. 树状数组 1 ：单点修改，区间查询

题目链接：https://loj.ac/problem/130

题目描述

这是一道模板题。

给定数列 a[1], a[2], \dots, a[n]a[1],a[2],…,a[n]，你需要依次进行 qq 个操作，操作有两类：

• 1 i x：给定 i,xi,x，将 a[i]a[i] 加上 xx；
• 2 l r：给定 l,rl,r，求 \sum_{i=l}^ra[i]∑i=lr​a[i] 的值（换言之，求 a[l]+a[l+1]+\dots+a[r]a[l]+a[l+1]+⋯+a[r] 的值）

输入格式

第一行包含 22 个正整数 n,qn,q，表示数列长度和询问个数。保证 1\le n,q\le 10^61≤n,q≤106。
第二行 nn 个整数 a[1], a[2], \dots, a[n]a[1],a[2],…,a[n]，表示初始数列。保证 |a[i]|\le 10^6∣a[i]∣≤106。
接下来 qq 行，每行一个操作，为以下两种之一：

• 1 i x：给定 i,xi,x，将 a[i]a[i] 加上 xx；
• 2 l r：给定 l,rl,r，求 \sum_{i=l}^ra[i]∑i=lr​a[i] 的值。

保证 1\le l\le r\le n,1≤l≤r≤n, |x|\le 10^6∣x∣≤106。

输出格式

对于每个 2 l r 操作输出一行，每行有一个整数，表示所求的结果。

样例

样例输入

3 2
1 2 3
1 2 0
2 1 3

样例输出

6

数据范围与提示

对于所有数据，1\le n,q\le 10^6,1≤n,q≤106, |a[i]|\le 10^6∣a[i]∣≤106, 1\le l\le r\le n,1≤l≤r≤n, |x|\le 10^6∣x∣≤106。

树状数组解法：

思路：板子

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6;
int n,m;
ll sum[maxn];
int lowbit(int x){return x&(-x);}
void add(int x,ll val){
    while(x<=maxn){
        sum[x]+=val;
        x+=lowbit(x);
    }
}
ll getsum(int x){
    ll res=0;
    while(x){
        res+=sum[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return res;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    ll c;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&c);
        add(i,c);
    }
    while(m--){
        int id,x,y;
        scanf("%d%d%d",&id,&x,&y);
        if(id==1)add(x,y);
        else
            cout<<getsum(y)-getsum(x-1)<<endl;
    }
    return 0;
}

 分块解法：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn=1e6+10;
ll a[maxn],sum[maxn];
int n,q,num,block,l[maxn],r[maxn],belong[maxn];
void build(){
    block=sqrt(n);
    num=n/block;
    if(n%block)num++;
    for(int i=1;i<=num;i++)
        l[i]=(i-1)*block+1,r[i]=i*block;
    r[num]=n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        belong[i]=(i-1)/block+1;

    for(int i=1;i<=num;i++)
        for(int j=l[i];j<=r[i];j++)
            sum[i]+=a[j];
}
ll query(int x,int y){
    ll res=0;
    if(belong[x]==belong[y]){
        for(int i=x;i<=y;i++)
            res+=a[i];
        return res;
    }
    for(int i=x;i<=r[belong[x]];i++) res+=a[i];
    for(int i=belong[x]+1;i<belong[y];i++)res+=sum[i];
    for(int i=l[belong[y]];i<=y;i++)res+=a[i];
    return res;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&a[i]);
    build();
    while(q--){
        int id,x,y;
        scanf("%d%d%d",&id,&x,&y);
        if(id==1){
            a[x]+=y;
            sum[belong[x]]+=y;
        }
        else
            printf("%lld\n",query(x,y));
    }
    return 0;
}

线段树解法：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn=1e6+10;
int n,q;
ll tree[maxn*4],a[maxn];
void pushup(int rt){
    tree[rt]=tree[rt<<1]+tree[rt<<1|1];
}
void build(int l,int r,int rt){
    if(l==r){
        tree[rt]=a[l];
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(l,mid,rt<<1);
    build(mid+1,r,rt<<1|1);
    pushup(rt);
}
void update(int pos,ll val,int l,int r,int rt){
    if(l==r){
        tree[rt]+=val;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(pos<=mid) update(pos,val,l,mid,rt<<1);
    else update(pos,val,mid+1,r,rt<<1|1);
    pushup(rt);
}
ll ask(int L,int R,int l,int r,int rt){
    ll res=0;
    if(l>=L&&r<=R) return tree[rt];
    pushup(rt);
    int mid=(l+r)>>1;
    if(L<=mid)res+=ask(L,R,l,mid,rt<<1);
    if(R>mid)res+=ask(L,R,mid+1,r,rt<<1|1);
    return res;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&a[i]);
    build(1,n,1);
    while(q--){
        int id,x,y;
        scanf("%d%d%d",&id,&x,&y);
        if(id==1) update(x,y,1,n,1);
        else printf("%lld\n",ask(x,y,1,n,1));
    }
    return 0;
}

 

#131. 树状数组 2 ：区间修改，单点查询

题目链接：https://loj.ac/problem/131

题目描述

这是一道模板题。

给定数列 a[1], a[2], \dots, a[n]a[1],a[2],…,a[n]，你需要依次进行 qq 个操作，操作有两类：

• 1 l r x：给定 l,r,xl,r,x，对于所有 i\in[l,r]i∈[l,r]，将 a[i]a[i] 加上 xx（换言之，将 a[l], a[l+1], \dots, a[r]a[l],a[l+1],…,a[r] 分别加上 xx）；
• 2 i：给定 ii，求 a[i]a[i] 的值。

输入格式

第一行包含 22 个正整数 n,qn,q，表示数列长度和询问个数。保证 1\le n,q\le 10^61≤n,q≤106。
第二行 nn 个整数 a[1], a[2], \dots, a[n]a[1],a[2],…,a[n]，表示初始数列。保证 |a[i]|\le 10^6∣a[i]∣≤106。
接下来 qq 行，每行一个操作，为以下两种之一：

• 1 l r x：对于所有 i\in[l,r]i∈[l,r]，将 a[i]a[i] 加上 xx；
• 2 i：给定 ii，求 a[i]a[i] 的值。

保证 1\le l\le r\le n,1≤l≤r≤n, |x|\le 10^6∣x∣≤106。

输出格式

对于每个 2 i 操作，输出一行，每行有一个整数，表示所求的结果。

样例

样例输入

3 2
1 2 3
1 1 3 0
2 2

样例输出

2

数据范围与提示

对于所有数据，1\le n,q\le 10^6,1≤n,q≤106, |a[i]|\le 10^6∣a[i]∣≤106, 1\le l\le r\le n,1≤l≤r≤n, |x|\le 10^6∣x∣≤106。

树状数组解法：

思路：这里需要用到差分数组，我们定义sum【i】为第i个数与第i-1个数的差，即sum【i】=a【i】-a【i-1】，这就使得a【i】=sum【1】+sum【2】+……sum【i】，就是sum数组的前缀和了，我们用数组数组维护sum数组的前缀和就好了。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn=1e6+10;
ll sum[maxn];
int n,q;
int lowbit(int x){return x&(-x);}
void add(int x,int val){
    while(x<=n){
        sum[x]+=val;
        x+=lowbit(x);
    }
}
ll ask(int x){
    ll res=0;
    while(x){
        res+=sum[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return res;
}
int main(){
    cin>>n>>q;
    ll tmp=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x;
        cin>>x;
        add(i,x-tmp);
        tmp=x;
    }
    while(q--){
        int id,l,r,x;
        cin>>id;
        if(id==1){
            cin>>l>>r>>x;
            add(l,x); add(r+1,-x);
        }
        else{
            cin>>x;
            cout<<ask(x)<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

 分块解法：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn=1e6+10;
int n,q,block,num;
ll a[maxn],lazy[maxn],l[maxn],r[maxn],belong[maxn];
void build(){
    block=sqrt(n);
    num=n/block;
    if(n%block)num++;
    for(int i=1;i<=num;i++)
        l[i]=(i-1)*block+1,r[i]=block*i;
    for(int i=1;i<=n;i++) belong[i]=(i-1)/block+1;
}
void update(int x,int y,int z){
    if(belong[x]==belong[y]){
        for(int i=x;i<=y;i++)a[i]+=z;
        return;
    }
    for(int i=x;i<=r[belong[x]];i++)a[i]+=z;
    for(int i=belong[x]+1;i<belong[y];i++)lazy[i]+=z;
    for(int i=l[belong[y]];i<=y;i++)a[i]+=z;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&a[i]);
    build();
    while(q--){
        int id,x,y,z;
        scanf("%d",&id);
        if(id==1){
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            update(x,y,z);
        }
        else{
            scanf("%d",&x);
            printf("%lld\n",a[x]+lazy[belong[x]]);
        }
    }
    return 0;
}

线段树解法：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn=1e6+10;
int n,q;
ll a[maxn],tree[maxn*4],lazy[maxn*4];
void pushup(int rt){tree[rt]=tree[rt<<1]+tree[rt<<1|1];}
void pushdown(int l,int r,int rt){
    if(lazy[rt]){
        tree[rt<<1]+=lazy[rt]*l;
        tree[rt<<1|1]+=lazy[rt]*r;
        lazy[rt<<1]+=lazy[rt];
        lazy[rt<<1|1]+=lazy[rt];
        lazy[rt]=0;
    }
}
void build(int l,int r,int rt){
    if(l==r){
        tree[rt]=a[l];
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    build(l,mid,rt<<1);
    build(mid+1,r,rt<<1|1);
    pushup(rt);
}
void update(int L,int R,int val,int l,int r,int rt){
    if(l>=L&&r<=R){
        tree[rt]+=val*(r-l+1);
        lazy[rt]+=val;
        return ;
    }
    int mid=l+r>>1;
    pushdown(mid-l+1,r-mid,rt);
    if(mid>=L) update(L,R,val,l,mid,rt<<1);
    if(mid<R) update(L,R,val,mid+1,r,rt<<1|1);
    pushup(rt);
}
ll ask(int pos,int l,int r,int rt){
    if(l==pos&&l==r)
        return tree[rt];
    int mid=l+r>>1;
    pushdown(mid-l+1,r-mid,rt);
    ll ans;
    if(pos<=mid) return ask(pos,l,mid,rt<<1);
    else return ask(pos,mid+1,r,rt<<1|1);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&a[i]);
    build(1,n,1);
    while(q--){
        int id,x,y,z;
        scanf("%d",&id);
        if(id==1){
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            update(x,y,z,1,n,1);
        }
        else{
            scanf("%d",&x);
            printf("%lld\n",ask(x,1,n,1));
        }
    }
    return 0;
}

 

#132. 树状数组 3 ：区间修改，区间查询

题目链接：https://loj.ac/problem/132

题目描述

这是一道模板题。

给定数列 a[1], a[2], \dots, a[n]a[1],a[2],…,a[n]，你需要依次进行 qq 个操作，操作有两类：

• 1 l r x：给定 l,r,xl,r,x，对于所有 i\in[l,r]i∈[l,r]，将 a[i]a[i] 加上 xx（换言之，将 a[l], a[l+1], \dots, a[r]a[l],a[l+1],…,a[r] 分别加上 xx）；
• 2 l r：给定 l,rl,r，求 \sum_{i=l}^ra[i]∑i=lr​a[i] 的值（换言之，求 a[l]+a[l+1]+\dots+a[r]a[l]+a[l+1]+⋯+a[r] 的值）。

输入格式

第一行包含 22 个正整数 n,qn,q，表示数列长度和询问个数。保证 1\le n,q\le 10^61≤n,q≤106。
第二行 nn 个整数 a[1],a[2],\dots,a[n]a[1],a[2],…,a[n]，表示初始数列。保证 |a[i]|\le 10^6∣a[i]∣≤106。
接下来 qq 行，每行一个操作，为以下两种之一：

• 1 l r x：对于所有 i\in[l,r]i∈[l,r]，将 a[i]a[i] 加上 xx；
• 2 l r：输出 \sum_{i=l}^ra[i]∑i=lr​a[i] 的值。

保证 1\le l\le r\le n,1≤l≤r≤n, |x|\le 10^6∣x∣≤106。

输出格式

对于每个 2 l r 操作，输出一行，每行有一个整数，表示所求的结果。

样例

样例输入

5 10
2 6 6 1 1
2 1 4
1 2 5 10
2 1 3
2 2 3
1 2 2 8
1 2 3 7
1 4 4 10
2 1 2
1 4 5 6
2 3 4

样例输出

15
34
32
33
50

数据范围与提示

对于所有数据，1\le n,q\le 10^6,1≤n,q≤106, |a[i]|\le 10^6∣a[i]∣≤106, 1\le l\le r\le n,1≤l≤r≤n, |x|\le 10^6∣x∣≤106。

树状数组解法：

思路：与上一题差不多，我们继续用一个数组sum1【i】存第i个数与第i-1个数的差，即

sum1【x】=a【i】-a【x-1】，a【x】=sum1【1】+sum1【2】+……sum1【x】

我们也可以很容易得出：

a【1】+a【2】+……a【x】=sum1【1】+（sum1【1】+sum1【2】）+……（sum1【1】+sum1【2】+……sum1【x】）

                                            =x*sum1【1】+（x-1）*sum1【2】+……sum1【x】

                                            =x*（sum1【1】+sum1【2】+……sum1【x】）-∑(i=1-x)(i-1)*sum1[i]

,所以我们就多建立一个数组sum2用来维护（x-1）sum1【x】就好了。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn=1e6+10;
ll sum1[maxn],sum2[maxn],a[maxn];
int n,q;
int lowbit(int x){return x&(-x);}
void add(int x,ll val){
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        sum1[i]+=val;
        sum2[i]+=(x-1)*val;
    }
}
ll ask(int x){
    ll res=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i)){
        res+=x*sum1[i]-sum2[i];
    }
    return res;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&a[i]);
        add(i,a[i]-a[i-1]);
    }
    while(q--){
        int id,l,r,x;
        scanf("%d",&id);
        if(id==1){
            scanf("%d%d%d",&l,&r,&x);
            add(l,x); add(r+1,-x);
        }
        else{
            scanf("%d%d",&l,&r);
            printf("%lld\n",ask(r)-ask(l-1));
        }
    }
    return 0;
}

 分块解法：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn=1e6+10;
int n,q,num,block;
ll lazy[maxn],sum[maxn],a[maxn],l[maxn],r[maxn],belong[maxn];
void build(){
    block=sqrt(n);
    num=n/block;
    if(n%block)num++;
    for(int i=1;i<=num;i++)
        l[i]=(i-1)*block+1,r[i]=i*block;
    r[num]=n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        belong[i]=(i-1)/block+1;

    for(int i=1;i<=num;i++)
        for(int j=l[i];j<=r[i];j++)
            sum[i]+=a[j];
}
void update(int x,int y,int val){
    if(belong[x]==belong[y]){
        for(int i=x;i<=y;i++) a[i]+=val;
        sum[belong[x]]+=(y-x+1)*val;
        return;
    }
    for(int i=x;i<=r[belong[x]];i++)a[i]+=val;
    for(int i=belong[x]+1;i<belong[y];i++){
        sum[i]+=block*val;
        lazy[i]+=val;
    }
    for(int i=l[belong[y]];i<=y;i++)a[i]+=val;
    sum[belong[x]]+=(r[belong[x]]-x+1)*val;
    sum[belong[y]]+=(y-l[belong[y]]+1)*val;
}
ll ask(int x,int y){
    ll res=0;
    if(belong[x]==belong[y]){
        for(int i=x;i<=y;i++)res+=a[i]+lazy[belong[x]];
        return res;
    }
    for(int i=x;i<=r[belong[x]];i++)res+=a[i]+lazy[belong[x]];
    for(int i=belong[x]+1;i<belong[y];i++) res+=sum[i];
    for(int i=l[belong[y]];i<=y;i++)res+=a[i]+lazy[belong[y]];
    return res;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&a[i]);
    build();
    while(q--){
        int id,x,y,z;
        scanf("%d",&id);
        if(id==1){
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            update(x,y,z);
        }
        else{
            scanf("%d%d",&x,&y);
            printf("%lld\n",ask(x,y));
        }
    }
    return 0;
}

线段树解法：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
typedef long long ll;
const ll maxn=1e6+10;
int n,q;
ll a[maxn],tree[maxn*4],lazy[maxn*4];
void pushup(int rt){tree[rt]=tree[rt<<1]+tree[rt<<1|1];}
void pushdown(int l,int r,int rt){
    if(lazy[rt]){
        tree[rt<<1]+=l*lazy[rt];
        tree[rt<<1|1]+=r*lazy[rt];
        lazy[rt<<1]+=lazy[rt];
        lazy[rt<<1|1]+=lazy[rt];
        lazy[rt]=0;
    }
}
void build(int l,int r,int rt){
    lazy[rt]=0;
    if(l==r){
        tree[rt]=a[l];
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    build(lson);
    build(rson);
    pushup(rt);
}
void update(int L,int R,ll val,int l,int r,int rt){
    if(l>=L&&r<=R){
        tree[rt]+=val*(r-l+1);
        lazy[rt]+=val;
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    pushdown(mid-l+1,r-mid,rt);
    if(mid>=L) update(L,R,val,lson);
    if(mid<R) update(L,R,val,rson);
    pushup(rt);
}
ll ask(int L,int R,int l,int r,int rt){
    ll res=0;
    if(l>=L&&r<=R) return tree[rt];
    int mid=l+r>>1;
    pushdown(mid-l+1,r-mid,rt);
    if(mid>=L) res+=ask(L,R,lson);
    if(mid<R) res+=ask(L,R,rson);
    return res;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&a[i]);
    build(1,n,1);
    while(q--){
        int id,x,y,z;
        scanf("%d",&id);
        if(id==1){
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            update(x,y,z,1,n,1);
        }
        else{
            scanf("%d%d",&x,&y);
            printf("%lld\n",ask(x,y,1,n,1));
        }
    }
    return 0;
}