素数筛

摘自博客：https://blog.csdn.net/qq_39826163/article/details/81395306

一、一般筛素数（埃拉托斯特尼筛法）

此筛选法的时间复杂度是O(nloglogn)

//埃氏筛
bool prime[maxn+5]
void getprime()  //筛选maxn以内的素数
{
    int tot=0;
    memset(prime,true,sizeof(prime));
    prime[0]=prime[1]=0;
    for(int i=2;i<=sqrt(maxn);i++)
    {
        if(prime[i])
        {
            for(int j=i*i;j<=maxn;j+=i)
                prime[j]=0;  //i是素数，则下一个起点是i*i,把后面的所有的i*i+2*n*i筛掉
        }
    }
}

这种方法比较好理解，初始时，假设全部都是素数，当找到一个素数时，显然这个素数乘上另外一个数之后都是合数(注意上面的 i*i ,  比 i*2 要快点 )，把这些合数都筛掉。

但仔细分析能发现，这种方法会造成重复筛除合数，影响效率。比如10，在i=2的时候，k=2*15筛了一次；在i=5，k=5*6 的时候又筛了一次。所以，也就有了快速线性筛法。

 

二、线性筛素数（欧拉筛法）
线性筛，复杂度为O(n)。与埃氏筛相比，不会对已经被标记过的合数再进行重复标记，故效率更高。欧拉筛将合数分解为 (最小质因数 * 一个合数) 的形式，通过最小质因数来判断当前合数是否已经被标记过。

//线性筛（欧拉筛）
int prime[maxn+5];
void getprime()
{
    int tot=0;  //tot用来计数，prime数组用来保存素数，同时标记
    memset(prime,0,sizeof(prime));
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(!prime[i])  //如果未被标记表示为素数
            prime[tot++]=i;
        for(int j=0;j<tot&&i*prime[j]<=maxn;j++)//当标记的合数超出范围则退出 
        {
            prime[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)  //保证每个合数只会被它的最小质因数筛去，因此每个数只会被标记一次
                break;
        }
    }
}

难点就在于对if (i % prime[j] == 0)这步的理解，意思是每个数保证被它的最小质因数筛出，即当i是prime[j]的整数倍时，记 m = i / prime[j]，那么 i * prime[j+1] 就可以变为 (m * prime[j+1]) * prime[j]，这说明 i * prime[j+1] 是 prime[j] 的整数倍，不需要再进行标记(在之后会被 prime[j] * 某个数 标记)，对于 prime[j+2] 及之后的素数同理，直接跳出循环，这样就避免了重复标记。

 

欧拉筛素数的其他应用：因为prime[j]必定是prime[j]*i的最小质因子。所以这个性质在某些题里可以用到。