2020 年 12月随笔档案 - zjjws

趣题

发表于 2020-12-30 22:34阅读：187评论：2推荐：1

摘要：由周指导等队爷提供的高质量好题。因为之后可能会比较多，还是分拆成几篇然后放链接比较好。

以 A t c o d e r 上 的 题 为 主 。 \(\to \)

$\texttt 以 Atcoder 上的题为主。 $\to$$ \texttt 依然是 Atcoder 占多。

\to

$\to$ $\texttt hehezhou 目前为止放的杂题好像都是集训队作业 \( 阅读全文 »

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牛顿迭代

发表于 2020-12-29 21:14阅读：106评论：0推荐：0

摘要：已知

f (x)

$f(x)$ ，求

g (x)

$g(x)$ ，其中

g (x)

$g(x)$ 满足：

f (g (x)) \equiv 0 (\mod x^{n})

$f(g(x))\equiv 0 \pmod{x^n}$ 。结论

g (x) \equiv g_{0} (x) - \frac{f (g_{0} (x))}{f^{'} (g_{0} (x))} (\mod x^{n})

$g(x)\equiv g_0(x)-\frac{f(g_0(x))}{f'(g_0(x))} \pmod{x^n}$ 推导过程我们还是先假设一个新阅读全文 »

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多项式指数函数（多项式 exp）

发表于 2020-12-29 20:32阅读：681评论：0推荐：2

摘要：

e^{t}

$e^t$ 的导数结论

(e^{t})^{'} = e^{t}

$(e^{t})'=e^t$ 证明

(e^{t})^{'} = \frac{(e^{t + ε} - e^{t})}{ε} = \frac{e^{t} (e^{ε} - 1)}{ε}

$(e^t)'=\frac{(e^{t+\varepsilon}-e^t)}{\varepsilon}=\frac{e^t(e^{\varepsilon}-1)}{\varepsilon}$ 因为 \(e^{\varepsil 阅读全文 »

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多项式求逆

发表于 2020-12-28 21:59阅读：81评论：0推荐：0

摘要：解决问题类型

f (x) \times g (x) \equiv 1 (\mod x^{n})

$f(x)\times g(x)\equiv 1\pmod {x^n}$ 已知

f (x)

$f(x)$ ，求

g (x)

$g(x)$ 。推导

f (x) \times g_{0} (x) \equiv 1 (\mod x^{⌈ \frac{2}{⌉}})

$f(x)\times g_0(x)\equiv1\pmod {x^{\lceil \frac{2} \rceil}}$ \(f^2(x)\time 阅读全文 »

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多项式学习笔记

发表于 2020-12-28 21:56阅读：264评论：0推荐：1

摘要：代码从 2021-02-03 开始的代码都整理一下，相对来说这里的代码更加实用且美观。放在这里。多项式代码工具类 FFT 学习笔记 NTT 学习笔记多项式推式子技巧类常用符号

f^{(i)} (x)

$f^{(i)}(x)$ 表示多项式

f (x)

$f(x)$ 的

i

$i$ 阶导数，其中也可以表示为 \(f'( 阅读全文 »

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多项式对数函数（多项式 ln）

发表于 2020-12-28 21:54阅读：1217评论：0推荐：0

摘要：前置知识

\ln

$\ln$ 求导求

\ln^{'} (t)

$\ln'(t)$ 。结论

\ln^{'} (t) = \frac{1}{t}

$\ln'(t)=\frac{1}{t}$ 证明设：

\frac{1}{ε} \ln (1 + \frac{ε}{t}) = k

$\frac{1}{\varepsilon}\ln(1+\frac{\varepsilon}{t})=k$ \(\frac{1}{k\varepsilon}\ln(1+ 阅读全文 »

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分治 FFT

发表于 2020-12-28 21:26阅读：135评论：0推荐：0

摘要：思想分治，将左边的贡献加到右边。具体的，就由递归实现，每次分治的左右区间，在左区间递归求得后，将其贡献给予右区间。这个贡献给予，视具体题目而定，就模板题来说，直接卷一下就好了。一定要注意：分治仅仅是个思想，模板题的作用只是让你知道多项式也是可以和分治结合的，分治 FFT 的应用非常的奇妙。阅读全文 »

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平方和（立方和）公式

发表于 2020-12-25 22:13阅读：1720评论：0推荐：0

摘要：平方和求

\sum_{i = 1}^{n} i^{2}

$\sum_{i=1}^n i^2$ 结论（想必人尽皆知）

\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n \cdot (n + 1) \cdot (2 n + 1)}{6}

$\sum_{i=1}^n i^2 =\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}$ 推导过程

(n + 1)^{3} = n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1

$(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1$ \((n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1\ 阅读全文 »

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关于日记

发表于 2020-12-25 18:50阅读：158评论：0推荐：0

摘要：以后我会放到日记里，而不是随笔，本来是想方便整理，然而这样仅有我自己能看了。不过关系不大。阅读全文 »

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杜教筛

发表于 2020-12-24 22:31阅读：147评论：0推荐：0

摘要：前置知识积性函数定义：满足对于任意互质的

x, y

$x,y$ ，有：

f (x \cdot y) = f (x) \cdot f (y)

$f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)$ 。则称

f

$f$ 为积性函数，例如

μ, φ

$\mu,\varphi$ 。完全积性函数，则定义中没有互质这一前提，比如：

ϵ (n) = [n = 1]

$\epsilon(n)=[n=1]$ \(I 阅读全文 »

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[集训队作业2013]城市规划

发表于 2020-12-24 16:57阅读：84评论：0推荐：0

摘要：题链式子部分非常的巧妙。假设

g

$g$ ，

[x^{t}] g (x)

$[x^t]g(x)$ 表示

t

$t$ 个点的简单有标号无向图的方案数。再假设一个

f

$f$ ，在前面那个基础上加上联通的前提。由于一个图可以看做是若干个联通块，那么我们可以钦定最后加入的那个点所在的联通块，得到式子： \([x^t]g(x 阅读全文 »

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数论变换（NTT）

发表于 2020-12-23 17:46阅读：315评论：0推荐：0

摘要：前置知识（？） FFT 算法流程和 FFT 的思想是一样的，它们的关系就像是高斯消元中的有模数和无模数。注意事项选取模数需满足

p = 2^{l} \times k + 1

$p=2^l\times k+1$ ，其中

l, k \in N_{+}

$l,k\in \mathbb{N_+}$ 。对于非取模题可以根据最终答案范围来决定，若是小于模数，直接做即可。若是阅读全文 »

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快速傅里叶变换（FFT）

发表于 2020-12-22 18:36阅读：331评论：0推荐：0

摘要：

data-2020-12-30 更 新 了 一 下 F F T 的 写 法 ， 精 度 更 高

$\texttt{data-2020-12-30} 更新了一下 FFT 的写法，精度更高$ 前置知识复数单位根将周角分为

n

$n$ 份，其和单位圆的交点

(x, y)

$(x,y)$ 视作复数，记为

ω_{n}^{i}

$\omega_n^i$ 。有： \[ \begin{cases} \omega_{2n}^{ 阅读全文 »

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manacher

发表于 2020-12-21 22:28阅读：103评论：0推荐：0

摘要：用以处理的问题形式最简单的应用，求一个串中的最长回文串。算法流程 Part 1 预处理将两种不同的回文串

\dots B \dots

$\cdots B \cdots$ 和

\dots B B \dots

$\cdots BB \cdots$ 合并成一种情况来考虑。在两两字符之间插入一个特殊符号，这样就无需考虑究竟是哪一种对称了。 Part 阅读全文 »

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扩展 KMP（Z 函数）

发表于 2020-12-21 22:05阅读：181评论：0推荐：0

摘要：能处理的问题形式线性求：

Lcp ([i :], [: n]), i \in [1, n]

$\operatorname {Lcp}([i:],[:n]),i\in [1,n]$ 。算法流程回想一下 KMP 中我们记录的是什么？

n x t_{i}

$nxt_i$ 表示

[: i]

$[:i]$ 这个串中最长前缀后缀匹配长度。而现在丢给我们的问题是：求

[i :]

$[i:]$ 和 \( 阅读全文 »

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复数

发表于 2020-12-19 12:53阅读：385评论：0推荐：0

摘要：复数分为实部和虚部，可以描述为一个二元组

(x, y)

$(x,y)$ ，表示这个数等于

x + y \sqrt{- 1}

$x+y\sqrt {-1}$ 。一般用

i

$i$ 表示

\sqrt{- 1}

$\sqrt {-1}$ 。由于是个二元组，所以它在理解的时候可以抽象为一个二维向量，分布在平面直角坐标系上。事实上，它确实也有不少性质和向量相同。复数阅读全文 »

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Miller Rabin

发表于 2020-12-18 22:32阅读：110评论：0推荐：0

摘要：概要一种随机化判定质数方法。根据执行次数不断增加，其正确率可以快速增长，以达到我们想要的目的。前置知识二次探测定理对于质数

p

$p$ ，若有

a^{2} \equiv 1 (\mod p)

$a^2\equiv 1\pmod p$ ，那么

a \equiv \pm 1 (\mod p)

$a\equiv \pm 1\pmod p$ 。证明： \[ a^2-1\equiv 0\p 阅读全文 »

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Admission to Exam

发表于 2020-12-15 20:34阅读：160评论：0推荐：0

摘要：题链

n

$n$ 个数，

x, 2 x, 3 x \dots, n x

$x,2x,3x\cdots,nx$ ，它们对

n

$n$ 取模的结果均匀地散布在

[0, n - 1]

$[0,n-1]$ 的整点上。这个条件等价于

x

$x$ 与

n

$n$ 互质。那么这道题就是求

φ (n) = k

$\varphi(n)=k$ 的最小的

n

$n$ 。由刚刚利用积性函数线性筛类似阅读全文 »

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欧拉函数

发表于 2020-12-15 15:03阅读：157评论：0推荐：0

摘要：基础知识定义：

φ (n)

$\varphi(n)$ 表示

n

$n$ 以内与

n

$n$ 互质的数的个数。有：

n = \sum_{d | n} φ (d)

$n=\sum_{d|n}\varphi(d)$

φ ({p_{i}}^{k_{i}}) = {p_{i}}^{k_{i}} - {p_{i}}^{k_{i} - 1}

$\varphi({p_i}^{k_i})={p_i}^{k_i}-{p_i}^{k_i-1}$ \(\varphi(n)=n\tim 阅读全文 »

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基础数论学习笔记

发表于 2020-12-15 13:36阅读：126评论：0推荐：0

摘要：首先是一些基础知识，比较板的内容：裴蜀定理 ExGcd 威尔逊定理线性求阶乘逆元 Crt ExCrt Lucus ExLucus BSGS 欧拉定理常用的其实就是一个费马小定理，以及其它形式的大指数降幂。整除分块属于莫比乌斯反演的前置知识。证明还挺有意思的，我之前写 Problem b 阅读全文 »

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[Code+#3]寻找车位

发表于 2020-12-14 22:25阅读：95评论：0推荐：0

摘要：以行建立线段树，点

[l, r]

$[l,r]$ 存贮横坐标在这个范围内的正方形面积的最大值。合并信息的话，就比较套路了，考虑左儿子和右儿子各自的最大值，以及组合能产生的最大值。中间那条分割线的两侧，各自有两个柱状图，表示最长的连续的

1

$1$ 。设两侧的长度各位

h, g

$h,g$ ，这个是可以直接合并得到阅读全文 »

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双栈排序

发表于 2020-12-14 14:56阅读：172评论：0推荐：0

摘要：感觉有一些地方没有梳理通，需要重新考虑一遍。一开始的建图，是没有问题的。对于任意三元组

(x, y, z)

$(x,y,z)$ ，若满足

x < y < z

$x<y<z$ 且

a_{x} < a_{y}

$a_x<a_y$ 且

a_{x} > a_{z}

$a_x>a_z$ ，那么

x, y

$x,y$ 之间便有一条之间相连的边。关键在于我后面的使用非常的 Naive，才导致 W 阅读全文 »

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切比雪夫距离

发表于 2020-12-12 19:56阅读：2374评论：0推荐：1

摘要：[TJOI2013]松鼠聚会两个点

(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})

$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 的切比雪夫距离为：

max (| x_{1} - x_{2} |, | y_{1} - y_{2} |)

$\max(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)$ 。这个东西非常不好处理，因为带最值。学习了转换切比雪夫距离和曼哈顿距离的方法，而曼哈顿距离和是很好求的。转换公式为 \((x,y)\ 阅读全文 »

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AC自动机

发表于 2020-12-03 20:16阅读：107评论：0推荐：0

摘要：注：本文是本人学习笔记，并非是教导初学者的文章，只会有一些注意点和部分高质量好题。暑假的时候过了板子，然后就没有做过 AC 自动机的题目了，现在觉得需要补一下。建完 Tire 树以后，便顺序跑一波 fail 指针，之后对于每个当前匹配到的位置，都可以很快跳到它的最长后缀的位置。注意 fai 阅读全文 »

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