左偏树学习笔记

Part 1 基础

可以去 oiwiki 上看。

简述一下操作就是：维护 dis 值为 \(\log\) 级别的一颗二叉树，满足堆的性质，支持合并和可持久化，并且合并的复杂度是单 \(\log\) 的。

更详细的性质和复杂度证明可以参考 05 年黄源河的论文《左偏树的特点及其应用》。

基础练习

【模板】左偏树（可并堆）

罗马游戏

Monkey King

[APIO2012]派遣

四道板子题，大概练练手感。

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Part 2 经典套路

维护权值标记

像什么全局加，全局乘的操作，只要不改变堆的性质，就都可以维护。

[JLOI2015]城池攻占

一道比较简单的例题，然而我忘记在遍历子树的外面也放一个弹出操作了，导致叶节点出发的骑士一定能至少攻占一个城市。大概只有我会犯这种 sb 错误吧。

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启发式合并的均摊分析

[SCOI2011]棘手的操作

会注意到单点修需要删点然后加点，这样不能保证标记下传。

但是只要我们启发式合并，每次把小的那堆合并到大的那堆，标记打在根上不下传，就不会有这个问题。复杂度依然是 \(\log\) 的。

然而我写挂了跑去写了 \(\log^2\)

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可持久化

其实左偏树你写过一遍就会发现和平衡树很像，其可持久化同于其它数据结构，是一样的实现方式。

最经典的可持久化左偏树的运用场所，就是 \(k\) 短路，用于维护当前最短的扩展路径。

【模板】k短路

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Part 3 扩展练习

[BalticOI 2004]Sequence 数字序列

这道题在黄源河的论文里是作为例题详细叙述的。具体的解题思路我不再赘述。