LCT 学习笔记

Part 1 基础操作

首先，最基础的 LCT 操作可以看 Oiwiki。我讲的肯定没有这上面好。

模板题

几个注意点：

• 每次更改儿子之后需要 pushup。更改父亲，在维护子树信息时也需要进行修改。

• findroot 是垃圾函数，大家不要去写。真的要写，每次搜索完必须要 splay 上来才能保证复杂度。

• 对于权值标记，以及一些复杂的维护信息，需要考虑交换标记产生的影响。

• 不要将 link 和 cut 函数在每道具体的题目中根据当前题意写不同的，保留最原始的 link 和 cut，这才会让你的代码不那么阴间。

• 对于 splay 所有 向下走 的操作，主要是平衡树上二分的过程，在这之后，一定要将找到的那个位置 splay 上来，才能保证复杂度。

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Part 2 套路题练习

好了，你已经学会 LCT 了，接下来做一点 基础套路题 来巩固吧！

[SDOI2008]洞穴勘测 （动态维护连通性&只有加边）

[TJOI2015]旅游（动态维护权值标记&较复杂的信息合并）

[NOI2014] 魔法森林（经典 LCT 与贪心的结合&动态维护边信息）

变化的道路（线段树分治&动态维护边信息）

[Cnoi2019]须臾幻境（妙妙题）

[USACO18FEB]New Barns P（动态维护直径）

EntropyIncreaser 与 动态图（动态维护割点&割边）

[BJOI2014]大融合（动态维护子树信息）

[SHOI2014]三叉神经树（定根 LCT&splay 上二分）

首都 （动态维护重心&splay 上二分）

详情可以参照这个 题单的前十七道题，我只是选了几道有代表性的出来。

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Solution

关于这几道题中涉及的几个套路：

• 维护边信息只需要新建一个点，然后连两条边即可。

• 维护直径，需要用到的性质：新的直径的两个端点，一定是原来两颗树的总共四个端点中的两个。那么只要大力分讨最多六中情况即可。

• 维护割点，只需要用 LCT 维护圆方树；维护割边，只需要维护边信息，每次区间打 tag。

• 维护子树信息，需要存贮一个点 所有虚边 对应的儿子的子树信息，不同的地方在于 Access 和 link。

• splay 上二分只要时刻记住 splay 的单调性是基于什么的，就不难。

• 维护重心，关键在于重心的性质：以重心为根的树，根的所有儿子的子树大小不超过 $\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$。

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Part 3 进阶题练习

[SDOI2017]树点涂色

会注意到一操作实质就是 LCT 中 Access 的操作，然后一个点到根的路径的贡献就是其经过的虚边条数。

于是就可以直接用线段树在虚实边切换的时候维护子树信息。当然需要注意：splay 里的儿子不是树上的儿子，只有虚边才是真实的树边。

Code

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[ZJOI2018]历史

题意转化十分小清新：给定每个点的 Access 次数，求最大的虚实边转化次数。

在手摸的过程中，我们能发现：每条边第一次被 Access 遍历到的时候，一定会产生一次贡献，而之后，却要考虑是否来自两个不同的城市的崛起。

我们将边的贡献丢到儿子上。根据 LCT 的性质，两次 Access 会在它们 Lca 处产生一次贡献。

对于每个点，它们之间是相互独立的，可以单独计算贡献。具体的，对于每个点，两次来自于不同子树的点作为起始位置的连续的 Access 会造成贡献（自己出发的位置也可以产生贡献）。当某一颗子树内部的次数很多，超过总数一半的时候，用插板法可以得到当前的最大次数，为 $2\times (\sum a_i -\max_{a_i})$。除此之外，我们都能够使得两两相邻的产生一次贡献。

那么我们现在就是需要维护每个点，所有儿子的子树的权值和，以及最大权值，然后支持单点修。

注意到一个很好的性质：当被修改后，所有维护信息变化的点，它们若是在修改前后都是第二种状态（最大值小于等于一半），答案也会加上相同的值；对于都是前后都是第一种情况的，如果贡献在最大值对应的子树上，答案不变，否则则是最大值对应的子树改变的情况，比较复杂。

在分讨的过程中，我们注意到，只有两种状态相互替换，或者第二种情况中最大值对应子树改变的时候，答案计算非常麻烦。

这里我们联想到 LCT 的虚实链切换次数是 $\log$ 次的，如果将这种转化对应到虚实链的切换，便能够使得复杂度正确。

于是我们就可以用 LCT 维护（雾），但是这个 LCT 和题意转化中的 LCT 不能混为一谈，我们只是利用 LCT 的性质分析出答案的计算方法，而后又发现这个东西可以利用 LCT 进行维护。

具体的，用实边表示第二种情况，那么所有答案的更改，与不变的实边无关，只需要在 Access 过程中进行虚实边判定即可。

代码调了三个小时，原因竟是 维护子树信息，splay 内调用子树大小应减去左儿子，也就是它的父亲的部分。

Code

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这边还有一些和 SAM 有关的题，暂时咕咕咕。

top tree 的话 $\cdots$ 咕咕咕咕咕咕。

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本文作者：zjjws
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