分块学习笔记
简介
分块是什么？分块就是暴力！
相对于其它数据结构，其优点在于：因为其结构简单，能够轻松地维护更多种类的信息。但是相对的，其 理论复杂度 往往都是要更大的。
但是 实际复杂度和理论复杂度没有关系 分块常数小，很多时候不见得会跑得比其它数据结构慢。
我觉得，学习分块的最好办法就是做题。
Part 1 基础
首先，你要对普通的数列分块和值域分块比较熟练。
最简单的思想，就是将整个序列/值域分为 \(\sqrt n\) 个块，每块大小相等。为什么是 \(\sqrt n\)？实际上这个大小取决于具体题目，甚至可能大小不等。在基础的题目里面往往是 \(\sqrt n\)，目的是让复杂度上界尽量低。
【模板】线段树 1
可以拿线段树的模板来锻炼一下数列分块。
Part 2 块内信息的多样化
块内的前缀后缀
除了整块的总和，实际上还有很多信息都是可以进行分块维护的，比如说块内的前缀后缀和，下面这道期望 \(\operatorname O(1)\) RMQ 就需要用到这个东西。
由乃救爷爷
这是期望 \(\operatorname O(1)\) RMQ 的板子，里面用到的思想非常地妙：处理出每个块内的前缀 \(\max\)，后缀 \(\max\)，以及若干个连续块的 \(\max\)。
同一个块内的需要暴力算，其它都是 \(\operatorname O(1)\) 的。因为数据随机，所以可以知道期望调用同一个块内的次数，可以得出复杂度依然是对的。
块内凸包
经常用于单点修，区间查，并且其式子可以斜优的题目。
时间管理
是我之前自己出的一道题目。简化版题意：单点修，查询排名和权值乘积的最大值（不太方便描述，建议看原题）。
Part 3 莫队
莫队的思路是：通过处理出的 \([l,r]\) 的信息，暴力转移到 \([l+1,r],[l-1,r],[l,r-1],[l,r+1]\) 这些地方。
我们先进行数列分块，对于询问 \([l,r]\)，把 \(l\) 在同一个块内的询问放在一起，然后按 \(r\) 升序排序。这样按顺序处理能保证转移次数是 \(n\sqrt n\) 级别的。
[国家集训队]小Z的袜子
莫队的板题。
莫队还有很多可以深入下去的内容，可以去 oiwiki 上自行学习。
Part 4 根号分治
是一种思想，将询问或者修改进行分类讨论，根据其规模不同，采用不同的方法处理，达到复杂度均摊的效果。
[TJOI2007] 可爱的质数/【模板】BSGS
BSGS 就是经典的根号分治的运用，考虑将 \(b^l\equiv n\pmod p\) 这个式子中的 \(l\) 写成 \(x\cdot \lceil \sqrt q \rceil -y\) 的形式，然后同乘 \(b^y\)，这样只需要分别枚举 \(x\) 和 \(y\)，而这两者的的范围都是根号的。
扩展 BSGS 就是多推一步式子，并不难。
到这里为止做一些练习巩固一下吧！
练习（有些题可能有一点卡常）
全村最好的嘤嘤刀
[Ynoi2017] 由乃打扑克
CF573E. Bear and Bowling
[AHOI2013]作业
[Ynoi2011] 初始化
Part 5 常见的分块套路
第二分块
[Ynoi2018] 五彩斑斓的世界
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