网络流学习笔记

最大流

Dinic 和 Hlpp，这两个比较常用的，我一般选择后者，不过要输出方案的话最好是用 Dinic。

放一个封装好的 HLPP，这个版本是不遵守流量守恒的，大概率会有流量没有退回源点。

Oiwiki

最大流最小割定理

对于 割 的定义以及一些结论与证明，可以参考 Oiwiki。

我理解的证明分两部分，一部分证明 “最小割 \(\ge\) 最大流”，另外一部分就是构造出一种情况使得 “最小割等于最大流”。

前者的理解，可以偏抽象，将割边视作断掉的边，使得源到汇无流量，那么这个 \(\ge\) 成立。

后者的话，只要将汇单独划入另一个集合，就是一个 \(=\) 号成立的方案。

只要定义理清证明就不难。

最大流最小割定理的运用

根据定理，我们可以随时将最大流问题和最小割问题相互转化，以下就是一道很不错的例题：

CF1383F

对于每条特殊边，我们考虑是否将其划入割边的集合，能够得到一个当前的最小割。将最大流问题转化为最小割之后，就可以将所有 \(2^k\) 种情况中 其它边 组成的最小割（最大流）先跑出来，然后将这些边的贡献加入，就可以求出每次的最小割。至于这个预处理部分，是可以在其它情况的残量网络的基础上跑若干次増广路得到。

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最小费用最大流

和最大流的区别在于：每次寻找边权的最短路进行增广。

那么由于边权的存在，跑分层图用 SPFA 就会【】。但是负边权的存在又会导致 Dji 无法正常工作。

给边加权非常难受，还要记录经过的边数，具体实现……也非常不尽人意。

考虑给点加权以后，终点为当前点的一条路径的权值会加上当前点的新增点权。

具体的内容可以参考 this。

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