牛顿迭代

已知 \(f(x)\)，求 \(g(x)\)，其中 \(g(x)\) 满足：\(f(g(x))\equiv 0 \pmod{x^n}\)。

结论

\[g(x)\equiv g_0(x)-\frac{f(g_0(x))}{f'(g_0(x))} \pmod{x^n} \]

推导过程

我们还是先假设一个新的多项式 \(g_0\)，满足：

\[f(g_0(x))\equiv 0\pmod {x^{\lceil \frac{n}{2}\rceil}} \]

把 \(g_0(x)\) 作为 \(x_0\)，将 \(f\) 泰勒展开，得到：

\[\sum_{i=0}^{+\infty}\limits \frac{f^{(i)}(g_0(x))}{i!}\cdot (g(x)-g_0(x))^i \equiv 0\pmod {x^n} \]

高次项不会对低次项产生影响，也就是说，\(g(x)\) 和 \(g_0(x)\) 的前 $\lceil \frac{n}{2} \rceil $ 项相同。

会发现当 \(i\ge 2\) 的时候，\((g(x)-g_0(x))^i\) 这一项中，最低的有系数的一项，在 \(x^n\) 之上， \(\equiv 0 \pmod{x^n}\)

因此 \(\sum_{i=0}^{\infty}\limits \to \sum_{i=0}^{1}\limits\)

\[f(g(x))\equiv f(g_0(x))+f'(g_0(x))\cdot (g(x)-g_0(x)) \pmod{x^n} \]

\[g(x)\equiv g_0(x)-\frac{f(g_0(x))}{f'(g_0(x))} \pmod{x^n} \]

于是可以递归求解。