多项式指数函数（多项式 exp）

\(e^t\) 的导数

结论

\[(e^{t})'=e^t \]

证明

\[(e^t)'=\frac{(e^{t+\varepsilon}-e^t)}{\varepsilon}=\frac{e^t(e^{\varepsilon}-1)}{\varepsilon} \]

因为 \(e^{\varepsilon}=\varepsilon +1\)，所以 \((e^t)'=e^t\)。

至此，证毕。

这个东西在这里并没有用，只是放在这里，以后什么时候找到归处了就转移。

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exp

首先，\(\exp f(x)\) 表示 \(e^{f(x)}\)。

\[\beta (x)\equiv e^{\alpha(x)}\pmod {x^n} \]

\[\ln(\beta(x))\equiv \alpha(x)\pmod {x^n} \]

\[\alpha(x)-\ln(\beta(x))\equiv 0\pmod {x^n} \]

这里我们假设一个关于 \(\beta(x)\) 的函数 \(f(\beta(x))=\ln(\beta(x))-\alpha(x)\)，那么我们要求的便是零点。

在这个式子里，\(\alpha(x)\) 可以作为常数项，因为自变量是 \(\beta(x)\)。

那么得到：

\[f'(\beta(x))=\frac{1}{\beta(x)} \]

接下来，我们把 \(f(\beta(x))\equiv 0\pmod{x^n}\) 代入牛顿迭代的式子，得到：

\[\beta(x)\equiv \beta_0(x)-\frac{f(\beta_0(x))}{f'(\beta_0(x))} \]

\[\beta(x)\equiv \beta_0(x)-\beta_0(x)\cdot (\ln(\beta_0(x))-\alpha(x)) \]

推到这里便已经可以递归分治了，想必这个式子也说明了为什么牛顿迭代经常会出现单 \(\log\) 跑不过双 \(\log\)。

注意：一定要清楚什么地方要清空。