多项式指数函数（多项式 exp）

$e^t$ 的导数

结论

$$(e^{t})'=e^t$$

证明

$$(e^t)'=\frac{(e^{t+\varepsilon}-e^t)}{\varepsilon}=\frac{e^t(e^{\varepsilon}-1)}{\varepsilon}$$

因为 $e^{\varepsilon}=\varepsilon +1$，所以 $(e^t)'=e^t$。

至此，证毕。

这个东西在这里并没有用，只是放在这里，以后什么时候找到归处了就转移。

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exp

首先，$\exp f(x)$ 表示 $e^{f(x)}$。

$$\beta (x)\equiv e^{\alpha(x)}\pmod {x^n}$$

$$\ln(\beta(x))\equiv \alpha(x)\pmod {x^n}$$

$$\alpha(x)-\ln(\beta(x))\equiv 0\pmod {x^n}$$

这里我们假设一个关于 $\beta(x)$ 的函数 $f(\beta(x))=\ln(\beta(x))-\alpha(x)$，那么我们要求的便是零点。

在这个式子里，$\alpha(x)$ 可以作为常数项，因为自变量是 $\beta(x)$。

那么得到：

$$f'(\beta(x))=\frac{1}{\beta(x)}$$

接下来，我们把 $f(\beta(x))\equiv 0\pmod{x^n}$ 代入牛顿迭代的式子，得到：

$$\beta(x)\equiv \beta_0(x)-\frac{f(\beta_0(x))}{f'(\beta_0(x))}$$

$$\beta(x)\equiv \beta_0(x)-\beta_0(x)\cdot (\ln(\beta_0(x))-\alpha(x))$$

推到这里便已经可以递归分治了，想必这个式子也说明了为什么牛顿迭代经常会出现单 $\log$ 跑不过双 $\log$。

注意：一定要清楚什么地方要清空。

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本文作者：zjjws
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