平方和（立方和）公式

平方和

求

\[\sum_{i=1}^n i^2 \]

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结论（想必人尽皆知）

\[\sum_{i=1}^n i^2 =\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6} \]

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推导过程

\[(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 \]

\[(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1 \]

\[(n+1)^3-1=3\cdot (\sum_{i=1}^n i^2+i)+n \]

这里出现了我们想要的东西，设 \((\sum_{i=1}^n i^2)=x\)，则：

\[3x=n^3+3n^2+3n-3(\sum_{i=1}^n i)-n \]

\[3x=n^3+\frac{3n^2}{2}+\frac{n}{2} \]

\[x=\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6} \]

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立方和

推导过程是同理的，记一下结论就好了，没必要每次重新推。

\[(\sum_{i=1}^n i^3)=\frac{n^2(n+1)^2}{4} \]