切比雪夫距离

[TJOI2013]松鼠聚会

两个点 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\) 的切比雪夫距离为：\(\max(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)\)。

这个东西非常不好处理，因为带最值。

学习了转换切比雪夫距离和曼哈顿距离的方法，而曼哈顿距离和是很好求的。

转换公式为 \((x,y)\to (x+y,x-y)\)，即可将曼哈顿距离转换为切比雪夫距离。

\[|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\ \ \& \ \ \max(|x_1+y_1-x_2-y_2|,|x_1-y_1-x_2+y_2|) \]

右边那个可以化成：

\[\max(|(x_1-x_2)+(y_1-y_2)|,|(x_1-x_2)-(y_1-y_2)|) \]

会发现这个东西和左边等价。

于是，证明成立。

那么返回去倒退即可得到：

切比雪夫转换为曼哈顿：\((x,y)\to (\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2})\)。

于是此题便可以得以解决。

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=1e5+3;
inline LL min(LL x,LL y){return x<y?x:y;}
inline LL rin()
{
    LL s=0;
    bool bj=false;
    char c=getchar();
    for(;(c>'9'||c<'0')&&c!='-';c=getchar());
    if(c=='-')bj=true,c=getchar();
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())s=(s<<1)+(s<<3)+(c^'0');
    if(bj)s=-s;
    return s;
}

LL s_x;
LL s_y;
struct gyq
{
    LL x,y;
    LL sum;
    inline void init()
    {
        int x_=rin(),y_=rin();
        x=x_+y_;y=x_-y_;
        s_x+=x;s_y+=y;
        return;
    }
}a[N];
inline bool myru_x(gyq x,gyq y){return x.x<y.x;}
inline bool myru_y(gyq x,gyq y){return x.y<y.y;}
int main()
{
    int i,j;
    int n=rin();
    for(i=1;i<=n;i++)a[i].init();
    LL sum;
    sort(a+1,a+n+1,myru_x);
    for(i=1,sum=0;i<=n;i++)sum+=a[i].x,a[i].sum+=a[i].x*i-sum+(s_x-sum)-a[i].x*(n-i);
    sort(a+1,a+n+1,myru_y);
    for(i=1,sum=0;i<=n;i++)sum+=a[i].y,a[i].sum+=a[i].y*i-sum+(s_y-sum)-a[i].y*(n-i);
    LL ans=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
    for(i=1;i<=n;i++)ans=min(ans,a[i].sum);
    printf("%lld\n",ans>>1);
    return 0;
}

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[POI2006]MAG-Warehouse

这题 \(x\) 和 \(y\) 要分开做。

由于求得的新坐标虽然是整点，但转变回去并不一定是，于是就可以扰动一下，看一下附近的一些点，找到一个转回去是整点的最小值即可。

但是 WA 了，\(90\) 分。

算了一下，这个鬼东西刚好会炸 long long。

于是学会了 int128 的使用方法（

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=1e5+3;
// inline LL abs(LL x){return (x<0)?(-x):(x);}
inline LL min(LL x,LL y){return x<y?x:y;}
inline __int128 min(__int128 x,__int128 y){return x<y?x:y;}
inline LL rin()
{
    LL s=0;
    bool bj=false;
    char c=getchar();
    for(;(c>'9'||c<'0')&&c!='-';c=getchar());
    if(c=='-')bj=true,c=getchar();
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())s=(s<<1)+(s<<3)+(c^'0');
    if(bj)s=-s;
    return s;
}

int n;
__int128 s_x;
__int128 s_y;
__int128 cutt;
struct gyq
{
    LL x,y;
    LL t;
    inline void init()
    {
        LL x_=rin(),y_=rin();
        x=x_+y_;y=x_-y_;
        t=rin();
        s_x+=x*t;
        s_y+=y*t;
        cutt+=t;
        return;
    }
}a[N];
inline bool myru_x(gyq x,gyq y){return x.x<y.x;}
inline bool myru_y(gyq x,gyq y){return x.y<y.y;}

inline __int128 cheak(LL x,LL y)
{
    __int128 sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        sum+=abs(a[i].t*(a[i].x-x));
        sum+=abs(a[i].t*(a[i].y-y));
    }
    return sum;
}
inline void work(LL x,LL y)
{
    if((x&1)==(y&1)){printf("%lld %lld\n",(x+y)>>1,(x-y)>>1);return;}
    __int128 s_1,s_2,s_3,s_4;
    s_1=cheak(x-1,y);
    s_2=cheak(x+1,y);
    s_3=cheak(x,y-1);
    s_4=cheak(x,y+1);
    __int128 ans=min(min(s_1,s_2),min(s_3,s_4));
    if(ans==s_1){printf("%lld %lld\n",(x-1+y>>1),(x-1-y>>1));return;}
    if(ans==s_2){printf("%lld %lld\n",(x+1+y>>1),(x+1-y>>1));return;}
    if(ans==s_3){printf("%lld %lld\n",(x+y-1>>1),(x-y+1>>1));return;}
    if(ans==s_4){printf("%lld %lld\n",(x+y+1>>1),(x-y-1>>1));return;}
    return;
}
int main()
{
    int i,j;
    n=rin();
    for(i=1;i<=n;i++)a[i].init();
    __int128 sum=0;
    __int128 cts=0;
    __int128 min_x,min_y;
    LL x=-1,y=-1;
    min_x=min_y=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
    min_x=min_y=min_x*min_x;
    sort(a+1,a+n+1,myru_x);
    for(i=1,sum=cts=0;i<=n;i++)
    {
        sum+=a[i].x*a[i].t;
        cts+=a[i].t;
        if(min_x>cts*a[i].x-sum+(s_x-sum)-(cutt-cts)*a[i].x)min_x=cts*a[i].x-sum+(s_x-sum)-(cutt-cts)*a[i].x,x=a[i].x;
    }
    sort(a+1,a+n+1,myru_y);
    for(i=1,sum=cts=0;i<=n;i++)
    {
        sum+=a[i].y*a[i].t;
        cts+=a[i].t;
        if(min_y>cts*a[i].y-sum+(s_y-sum)-(cutt-cts)*a[i].y)min_y=cts*a[i].y-sum+(s_y-sum)-(cutt-cts)*a[i].y,y=a[i].y;
    }
    work(x,y);
    return 0;
}

---