[AH2017/HNOI2017]抛硬币

先钦定 \(a>b\)，因为若是将 \(a,b\) 互换，即将其胜利方案数和失败方案数互换。

考虑两人平局的方案数：

\[\sum_{i=0}^b \begin{pmatrix}b\\ i\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\ i\end{pmatrix} \]

用范德蒙德卷积可化成：

\[\begin{pmatrix}a+b\\ b\end{pmatrix} \]

总方案数为：\(2^{a+b}\)

那么胜和负的总方案数为：

\[S_1= 2^{a+b}- \begin{pmatrix}a+b\\ b\end{pmatrix} \]

考虑当 \(a=b\) 时，在去掉了所有平局的结果以后，将两人的投掷情况取反（即将反面当做贡献而非正面），其结果也刚好反过来，输赢关系是刚好一一对应的。

然而当 \(a>b\) 时，会出现：上述那般 取反 后，结果不反过来，即：不管是否 取反 都是 \(A\) 赢。

之前式子推假了是因为：

A 可以在后面 \(a-b\) 次再超过 B

去看了一波别人的题解，现在应当不会再假了。

刚刚那种不对偶的情况可以看作是：

\[\begin{cases} S(a)>S(b) \\ a-S(a)>b-S(b) \end{cases} \]

那么可以移项得：

\[a-b>S(a)-S(b) \]

枚举 \(S(b)\)，枚举差值，即可表示出方案数。

\[\sum_{i=1}^{a-b-1}\sum_{j=0}^b \begin{pmatrix}a\\ j+i\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b\\ j\end{pmatrix} \]

那么一样可以化为：

\[\sum_{i=1}^{a-b-1} \begin{pmatrix}a+b\\ b+i\end{pmatrix} \]

那么就是扩卢的板子题。

去学扩卢了（

我学成归来力。