[BJWC2010]严格次小生成树
Solution 1 主席树
首先考虑要严格小于，贪心地考虑就是一次加边删边，删去一条较小的边，然后加入一条较大的边。
\(\operatorname {Q_1}:\) 为什么是一次加边删边，难道不也可以多次吗？
哪怕多次，实际上加边和删边都可以一一匹配，\(x\) 次操作可以当做求第 \(x+1\) 小生成树。
朴素地枚举每条 原本未在生成树中的边，考虑将其加入，你需要找到形成的环中小于自己的边权的最大的边权。
也就是前驱。
考虑到每次查询的是一条路径上的前驱。
可以树剖加主席树获得两只 log 的做法。
写了一个大常数 \(\log^2\)，最后一个点死都卡不过去。
有几个问题也暴露出来了：
\(1.\) 不少数据结构题我在想到做法之后就基本不会继续考虑题目本身，而是直接去考虑代码实现了，以至于用错误复杂度的方法写半天。
\(2.\) 并查集经常忘记路径压缩。（自从 怎样更有力气 那道题开始就经常犯这个错误）
虽然并查集没路径压缩并没有影响我的运行时间？
以下是放弃了卡常的 \(90\) 分代码，运用了主席树可以跑两次求前驱的原理（和 Rui_R 口胡出来的）。
#include <stdio.h>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=1e5+3;
const int M=3e5+3;
int n,m;
inline void jh(int &x,int &y){x^=y^=x^=y;return;}
inline int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
inline int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
struct Rin
{
char c;
inline char gc()
{
static char rea[M];
static char *head,*tail;
return head==tail&&(tail=(head=rea)+fread(rea,1,M,stdin),head==tail)?EOF:*head++;
}
inline Rin&operator >>(int &x)
{
x=0;
bool bj=false;
for(c=gc();c>'9'||c<'0';c=gc())if(c=='-'){c=gc();bj=true;break;}
for(;c>='0'&&c<='9';c=gc())x=(x<<1)+(x<<3)+(c^'0');
if(bj)x=-x;
return *this;
}
inline Rin&operator <<(LL x)
{
static char a[66];
static int tail;
if(!x)putchar(48);
else
{
tail=0;
if(x<0){x=-x;putchar('-');}
for(;x;x/=10)a[++tail]=x%10;
for(;tail;tail--)putchar(a[tail]+48);
}
putchar('\n');
return *this;
}
}rin;
int F[N];
inline int find(int x){return (F[x]==x)?(x):(F[x]=find(F[x]));}
struct cow
{
int y,z;
cow(int y_,int z_){y=y_;z=z_;return;}
};
vector<cow>to[N];
struct milk
{
int x,y,z;
bool bj;
inline void add(){to[x].push_back(cow(y,z));to[y].push_back(cow(x,z));bj=true;return;}
}a[M];
int c[M];
int psc;
inline bool myru_a(milk x,milk y){return x.z<y.z;}
inline bool myru_b(int x,int y){return a[x].z<a[y].z;}
struct zjj
{
int ls,rs;
int s;
}t[N*25];
int st[N];
int cutt;
inline void make_tree(int l,int r,int i)
{
t[i].ls=t[i].rs=t[i].s=0;
if(l==r)return;
int mid=(l+r)>>1;
make_tree(l,mid,t[i].ls=++cutt);
make_tree(mid+1,r,t[i].rs=++cutt);
return;
}
inline void add_tree(int l,int r,int now,int last,int s)
{
t[now]=t[last];t[now].s++;
if(!t[now].ls)return;
int mid=(l+r)>>1;
if(mid>=s)add_tree(l,mid,t[now].ls=++cutt,t[last].ls,s);
else add_tree(mid+1,r,t[now].rs=++cutt,t[last].rs,s);
return;
}
struct prpr
{
int fa;
int dep;
int top;
}T[N];
int num[N];
int son[N];
int lar[N];
int val[N];
int nam;
inline void dfs_down(int now,int fa)
{
lar[now]=1;
int maxl=0;
for(int i=to[now].size()-1;i>=0;i--)
{
int y=to[now][i].y,z=to[now][i].z;
if(y==fa)continue;
val[y]=z;dfs_down(y,now);lar[now]+=lar[y];
if(lar[y]>maxl)son[now]=y;
}
return;
}
inline void add_list(int now){T[nam+1].fa=num[now];T[nam+1].dep=T[num[now]].dep+1;return;}
inline void make_list(int now,int fa)
{
num[now]=++nam;
add_tree(1,psc,st[nam]=++cutt,st[nam-1],val[now]);
T[nam].top=num[fa];
if(!son[now])return;
add_list(now);make_list(son[now],fa);
for(int i=to[now].size()-1;i>=0;i--)if(!num[to[now][i].y])add_list(now),make_list(to[now][i].y,to[now][i].y);
return;
}
inline int cheak_rank(int l,int r,int now,int last,int v)
{
if(t[now].s-t[last].s==0)return 0;
if(r<v)return t[now].s-t[last].s;
if(l>=v)return 0;
int mid=(l+r)>>1;
if(mid<v)return t[t[now].ls].s-t[t[last].ls].s+cheak_rank(mid+1,r,t[now].rs,t[last].rs,v);
else return cheak_rank(l,mid,t[now].ls,t[last].ls,v);
}
inline int cheak_num(int l,int r,int now,int last,int s)
{
if(!t[now].ls)return c[l];
int now_s=t[t[now].ls].s-t[t[last].ls].s;
int mid=(l+r)>>1;
if(now_s>=s)return cheak_num(l,mid,t[now].ls,t[last].ls,s);
else return cheak_num(mid+1,r,t[now].rs,t[last].rs,s-now_s);
}
inline int cheak_(int l,int r,int v){return cheak_num(1,psc,st[r],st[l-1],cheak_rank(1,psc,st[r],st[l-1],v));}
inline int work(int now)
{
int x=num[a[now].x],y=num[a[now].y];
int sum=-0x3f3f3f3f;
for(;T[x].top!=T[y].top;)
{
if(T[T[x].top].dep<T[T[y].top].dep)jh(x,y);
sum=max(sum,cheak_(T[x].top,x,a[now].z));
x=T[T[x].top].fa;
}
if(T[x].dep<T[y].dep)jh(x,y);
if(x!=y)sum=max(sum,cheak_(y+1,x,a[now].z));
return c[a[now].z]-sum;
}
int main()
{
int i,j;
rin>>n>>m;
for(i=1;i<=m;i++){rin>>a[i].x>>a[i].y>>a[i].z;a[i].bj=false;}
sort(a+1,a+m+1,myru_a);
for(i=1;i<=m;i=j){c[++psc]=a[i].z;for(j=i;j<=m&&a[j].z==c[psc];j++)a[j].z=psc;}
LL ans=0;
for(i=1;i<=n;i++)F[i]=i;
for(i=1;i<=m;i++)if(find(a[i].x)!=find(a[i].y))F[find(a[i].x)]=find(a[i].y),a[i].add(),ans+=c[a[i].z];
make_tree(1,psc,st[0]=++cutt);
dfs_down(1,0);T[1].dep=1;make_list(1,1);
int mins=0x3f3f3f3f;
for(i=m;i>=1;i--)if(!a[i].bj)if(c[a[i].z]-c[a[i].z-1]<mins)mins=min(mins,work(i));
ans+=mins;
rin<<ans;
return 0;
}
然后的话，有一个双 log 的小常数做法（去查前驱真的好傻），加了一个最优性剪枝，开了 O2 过去了。
#include <stdio.h>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=1e5+3;
const int M=3e5+3;
int n,m;
inline void jh(int &x,int &y){x^=y^=x^=y;return;}
inline int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
inline int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
struct Rin
{
char c;
inline char gc()
{
static char rea[M];
static char *head,*tail;
return head==tail&&(tail=(head=rea)+fread(rea,1,M,stdin),head==tail)?EOF:*head++;
}
inline Rin&operator >>(int &x)
{
x=0;
bool bj=false;
for(c=gc();c>'9'||c<'0';c=gc())if(c=='-'){c=gc();bj=true;break;}
for(;c>='0'&&c<='9';c=gc())x=(x<<1)+(x<<3)+(c^'0');
if(bj)x=-x;
return *this;
}
inline Rin&operator <<(LL x)
{
static char a[66];
static int tail;
if(!x)putchar(48);
else
{
tail=0;
if(x<0){x=-x;putchar('-');}
for(;x;x/=10)a[++tail]=x%10;
for(;tail;tail--)putchar(a[tail]+48);
}
putchar('\n');
return *this;
}
}rin;
int F[N];
inline int find(int x){return (F[x]==x)?(x):(F[x]=find(F[x]));}
struct cow
{
int y,z;
cow(int y_,int z_){y=y_;z=z_;return;}
};
vector<cow>to[N];
struct milk
{
int x,y,z;
bool bj;
inline void add(){to[x].push_back(cow(y,z));to[y].push_back(cow(x,z));bj=true;return;}
}a[M];
int c[M];
int nam;
inline bool myru_a(milk x,milk y){return x.z<y.z;}
inline bool myru_b(int x,int y){return a[x].z<a[y].z;}
struct prpr
{
int fa;
int dep;
int top;
}T[N];
int num[N];
int son[N];
int lar[N];
int val[N];
inline void dfs_down(int now,int fa)
{
lar[now]=1;
int maxl=0;
for(int i=to[now].size()-1;i>=0;i--)
{
int y=to[now][i].y,z=to[now][i].z;
if(y==fa)continue;
val[y]=z;dfs_down(y,now);lar[now]+=lar[y];
if(lar[y]>maxl)son[now]=y;
}
return;
}
inline void add_list(int now){T[nam+1].fa=num[now];T[nam+1].dep=T[num[now]].dep+1;return;}
inline void make_list(int now,int fa)
{
num[now]=++nam;
T[nam].top=num[fa];
if(!son[now])return;
add_list(now);make_list(son[now],fa);
for(int i=to[now].size()-1;i>=0;i--)if(!num[to[now][i].y])add_list(now),make_list(to[now][i].y,to[now][i].y);
return;
}
struct zjj
{
int l,r;
int ls,rs;
int f;
}t[N<<1];
inline void make_tree(int l,int r,int i)
{
t[i].l=l;t[i].r=r;
t[i].ls=t[i].rs=t[i].f=0;
if(l==r)return;
int mid=(l+r)>>1;
make_tree(l,mid,t[i].ls=++nam);
make_tree(mid+1,r,t[i].rs=++nam);
return;
}
inline void add(int x,int y,int i)
{
t[i].f=max(t[i].f,y);
if(t[i].l==t[i].r)return;
if(t[t[i].ls].r>=x)add(x,y,t[i].ls);
if(t[t[i].rs].l<=x)add(x,y,t[i].rs);
return;
}
inline void add_(int x,int y,int z){x=num[x];y=num[y];x=(T[x].dep>T[y].dep)?(x):(y);add(x,c[z],1);return;}
inline int cheak(int l,int r,int i)
{
if(l<=t[i].l&&t[i].r<=r)return t[i].f;
int ans=0;
if(t[t[i].ls].r>=l)ans=max(ans,cheak(l,r,t[i].ls));
if(t[t[i].rs].l<=r)ans=max(ans,cheak(l,r,t[i].rs));
return ans;
}
inline int work(int now)
{
int x=num[a[now].x],y=num[a[now].y];
int sum=-0x3f3f3f3f;
for(;T[x].top!=T[y].top;)
{
if(T[T[x].top].dep<T[T[y].top].dep)jh(x,y);
sum=max(sum,cheak(T[x].top,x,1));
x=T[T[x].top].fa;
}
if(x<y)jh(x,y);
if(x!=y)sum=max(sum,cheak(y+1,x,1));
return c[a[now].z]-sum;
}
int main()
{
int i,j;
rin>>n>>m;
for(i=1;i<=m;i++){rin>>a[i].x>>a[i].y>>a[i].z;a[i].bj=false;}
sort(a+1,a+m+1,myru_a);
for(i=1;i<=m;i=j){c[++nam]=a[i].z;for(j=i;j<=m&&a[j].z==c[nam];j++)a[j].z=nam;}nam=0;
LL ans=0;
for(i=1;i<=n;i++)F[i]=i;
for(i=1;i<=m;i++)if(find(a[i].x)!=find(a[i].y))F[find(a[i].x)]=find(a[i].y),a[i].add(),ans+=c[a[i].z];
dfs_down(1,0);T[1].dep=1;make_list(1,1);
nam=0;make_tree(1,n,++nam);
int mins=0x3f3f3f3f;
for(i=1;i<=m;i=j)
{
for(j=i;j<=m&&a[j].z==a[i].z;j++)if(!a[j].bj)if(c[a[j].z]-c[a[j].z-1]<mins)mins=min(mins,work(j));
for(j=i;j<=m&&a[j].z==a[i].z;j++)if(a[j].bj)add_(a[j].x,a[j].y,a[j].z);
}
ans+=mins;
rin<<ans;
return 0;
}
Solution 2 倍增
等等，为什么要树剖？为什么要主席树？
不是直接在最小生成树上倍增就好了吗？前驱可以用维护最大和严格次大来解决。
证明的话，考虑一条 非树边 在实现最小生成树的过程中 尝试加入，所形成的环，是与最小生成树建完后形成的环是相同的。
那么在建完的最小生成树上任意两点间的路径上并不会出现比当前边权值大的边。
至此，单 log 做法的正确性得以保证。
实质上考察的是最小生成树 环树 性质的运用。
#include <stdio.h>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=1e5+3;
const int M=3e5+3;
int n,m;
inline void jh(int &x,int &y){x^=y^=x^=y;return;}
inline int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
inline int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
struct Rin
{
char c;
inline char gc()
{
static char rea[M];
static char *head,*tail;
return head==tail&&(tail=(head=rea)+fread(rea,1,M,stdin),head==tail)?EOF:*head++;
}
inline Rin&operator >>(int &x)
{
x=0;
bool bj=false;
for(c=gc();c>'9'||c<'0';c=gc())if(c=='-'){c=gc();bj=true;break;}
for(;c>='0'&&c<='9';c=gc())x=(x<<1)+(x<<3)+(c^'0');
if(bj)x=-x;
return *this;
}
inline Rin&operator <<(LL x)
{
static char a[66];
static int tail;
if(!x)putchar(48);
else
{
tail=0;
if(x<0){x=-x;putchar('-');}
for(;x;x/=10)a[++tail]=x%10;
for(;tail;tail--)putchar(a[tail]+48);
}
putchar('\n');
return *this;
}
}rin;
int F[N];
inline int find(int x){return (F[x]==x)?(x):(F[x]=find(F[x]));}
struct cow
{
int y,z;
cow(int y_,int z_){y=y_;z=z_;return;}
};
vector<cow>to[N];
struct milk
{
int x,y,z;
bool bj;
inline void add(){to[x].push_back(cow(y,z));to[y].push_back(cow(x,z));bj=true;return;}
}a[M];
int c[M];
int cutt;
inline bool myru_a(milk x,milk y){return x.z<y.z;}
inline bool myru_b(int x,int y){return a[x].z<a[y].z;}
int f[20][N];
struct zjj
{
int x,y;
inline void operator +=(zjj &s)
{
if(s.x>x)y=x,x=s.x;else if(s.x<x&&s.x>y)y=s.x;
if(s.y>x)y=x,x=s.y;else if(s.y<x&&s.y>y)y=s.y;
return;
}
};
zjj s[20][N];
zjj sum;
int dep[N];
inline void dfs(int now,int fa)
{
for(int i=to[now].size()-1;i>=0;i--)
{
int next=to[now][i].y;
if(next==fa)continue;
f[0][next]=now;
s[0][next].x=c[to[now][i].z];
dep[next]=dep[now]+1;
dfs(next,now);
}
return;
}
inline void jump_(int &x,int i){sum+=s[i][x];x=f[i][x];return;}
inline int work(int i)
{
int x=a[i].x,y=a[i].y,z=c[a[i].z];
sum.x=sum.y=-0x3f3f3f3f;
if(dep[x]<dep[y])jh(x,y);
for(int i=dep[x]-dep[y],j=0;i;i>>=1,j++)if(i&1)jump_(x,j);
for(int i=0;i>=0;)if(f[i][x]!=f[i][y])jump_(x,i),jump_(y,i),i++;else i--;
if(x!=y)jump_(x,0),jump_(y,0);
if(sum.x==z)return z-sum.y;
return z-sum.x;
}
int main()
{
int i,j;
rin>>n>>m;
for(i=1;i<=m;i++){rin>>a[i].x>>a[i].y>>a[i].z;a[i].bj=false;}
sort(a+1,a+m+1,myru_a);
for(i=1;i<=m;i=j){c[++cutt]=a[i].z;for(j=i;j<=m&&a[j].z==c[cutt];j++)a[j].z=cutt;}
LL ans=0;
for(i=0;i<=n;i++)F[i]=i,s[0][i].x=s[0][i].y=-0x3f3f3f3f;
for(i=1;i<=m;i++)if(find(a[i].x)!=find(a[i].y))F[find(a[i].x)]=find(a[i].y),a[i].add(),ans+=c[a[i].z];
dfs(1,0);
for(i=1;(1<<i)<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)f[i][j]=f[i-1][f[i-1][j]],s[i][j]=s[i-1][j],s[i][j]+=s[i-1][f[i-1][j]];
int mins=0x3f3f3f3f;
for(i=1;i<=m;i++)if(!a[i].bj)if(c[a[i].z]-c[a[i].z-1]<mins)mins=min(mins,work(i));
ans+=mins;
rin<<ans;
return 0;
}
Solution 3 LCT
然后实际还有 LCT 的做法，每次等于查找一条链上的最大值，学过 LCT 之后再看这道题，就显得很板。
总结：
数据结构这东西，太暴力了，写多了就会形成 解决这类问题可以用这个数据结构实现 的观念，以至于忽视题目的特殊性。
还是要优先题意分析+贪心啊。
$$\texttt{Dirty Deeds Done Dirt Cheap}$$
