线性代数学习笔记

前言

因为博主太菜了所以需要写笔记来加深理解。

感谢队爷 cly 对我的耐心指导。

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Part 1 向量

$\to$

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Part 2 矩阵乘法

矩阵其实可以看成若干向量。

矩阵相乘的定义我就不讲了，这个不知道的自己百度一下。

关于这部分，引入一些奇怪的知识（说奇怪是因为我目前没有用到过）：

• 可以行拆分和列拆分进行运算，实质也是分块矩阵。具体的，进行运算的两段左边进行行拆分，右边进行列拆分。

• 可以拆分成分块矩阵。（配合一些乱七八糟的东西能达到 $\operatorname {O}(n^{\omega})$ 求行列式，当然我觉得现阶段没必要，也掌握不了）

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第二种理解方式

hehezhou 给了我又一种理解矩阵乘法的方式。

矩阵中的元素 $A_{i,j}$ 表示从点 $i$ 到点 $j$ 的方案数。

若是从这个角度的话就可以快速地理解一些东西了。

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Part 3 矩阵转化

如何把一个矩阵转化成我想要的样子呢？

这里我不知道怎么写比较好的引子，就直接上正题了吧。

在讲这块之前，需要一些前置知识：

矩阵的初等变换

矩阵的初等变换有三种：

$1.$ 交换某两行（注意对应到矩阵的乘法中，需要左乘初等变换矩阵，若右乘即为交换两列）。

$2.$ 将某一行乘上一个非零实数 $k$。

$3.$ 将某一行的 $k$ 倍（向量内每个元素都变成原来的 $k$ 倍的意思）加到另一行上。

那么应该如何实现这三种操作呢？

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单位矩阵

单位矩阵是一个 只有主对角线上的元素为一，其它都为零 的 $n\times n$ 的矩阵，拥有 任何矩阵乘上单位矩阵都是自身 的良好性质，可以类比为普通乘法中的 $1$。

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初等矩阵

那么若是我们对单位矩阵进行上述的初等变换，然后再将我们想进行操作的矩阵乘上这个得到的东西，是否就可以得到我们想要的结果？

小编也很惊讶，但事实就是这样。

你可以从定义或者上面描述的乘法的角度去理解。

对单位矩阵进行一次初等变换得到的东西，称为初等矩阵。

你会发现这个东西妙得很，可以做高斯消元，因为高斯消元需要的操作无非也是这几种。

并且你会发现，需要的是左乘初等矩阵，因为右乘会对列进行操作。

若是一个矩阵可以进行若干次初等变换变成单位矩阵，那么便称之为是可逆的。

但是具体的代码实现里面，并不需要真正去构建这种矩阵来转换，更多的是用于一些推导和证明。因为如果真的要实现那三种变换，直接按照定义去实现就好了。

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Part 4 矩阵的逆

定义一个矩阵 $A$ 的逆 $B$，满足 $AB=BA=E$，其中 $E$ 表示单位矩阵。

具体的求法，我们可以将 $E$ 拆分为 $A$ 和若干个初等矩阵的乘积：$x_1 x_2 \cdots A$，也就是说，$A$ 可经过若干次初等变换得到 $E$。对于上面那个等式，我们左右同时左乘上这若干个初等矩阵，就得到了 $EB=x_1 x_2 \cdots E$，那么 $B=x_1 x_2 \cdots E$。

那么如果不满足那个拆分的 $A$ 呢？答案是 $A$ 无逆，这点在之后的行列式求值也可以相联系。

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Part 5 高斯消元

这个我感觉没有什么特别好讲的，利用前面的初等变换，进行平时解方程组的操作，不断消去未知数。

这里引入一个 增广矩阵 的概念，具体的，将未知数系数表示成一个 系数矩阵 $A$，常数项单独作为一个矩阵（也可以叫做向量）$x$，那么 增广矩阵 $B=(A|x)$，是这样一个表示形式。这个定义会在后面用到。

那么 $B$ 也是一样可以通过一系列变换变成阶梯型矩阵的。

练习

矩阵求逆

高斯消元

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Part 6 行列式

式子我就不写了，网上都有。

朴素地求行列式的复杂度是 $\operatorname O(n!(n \log+n))$（大概）

反正也不会真有人去暴力做这个东西。

利用行列式的一些性质来进行求解：

$1.$ 交换某两行。行列式取负。

$2.$ 将某一行乘上一个非零实数 $k$。行列式乘上 $k$。

$3.$ 将某一行的 $k$ 倍（向量内每个元素都变成原来的 $k$ 倍的意思）加到另一行上。行列式不变。

$4.$ 一个矩阵若是有逆，则其行列式为逆矩阵的逆元（若是取模意义下的话），否则行列式为 $0$。

那么就是一样去做高斯消元的过程求逆矩阵（当然实际并不用求出这个逆），然后对行列式进行计算。

这里的计算部分有一种很巧妙的写法：将 $A$ 消成上三角矩阵以后，将对角线元素相乘即为答案。至于为什么，可以自己推导一下，很有意思的。

以及，在这个过程中，如果说当前求行列式的矩阵不可逆，那么必然会在若干步初等变换后，出现某个对角线上的元素为 $0$ 的情况，那么显然矩阵的行列式为 $0$。

也就是说：矩阵有逆 $\Leftrightarrow$ 矩阵行列式不为 $0$。反之也是成立的，这样可以使得行列式与矩阵求逆联系在一起。

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最小生成树计数

rt，如何计算最小生成树的方案数呢？

构造一个基尔霍夫矩阵，然后求出去掉最后一行和最后一列以后的行列式。

注：基尔霍夫矩阵中 $A_{i,i}$ 表示点 $i$ 的度数，$A_{i,j},i!=j$ 表示邻接矩阵中 $A_{i,j}$ 的相反数。（连边数取反）

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练习

模板题

小 Z 的房间：

这题因为是对非质数取模，所以需要进行辗转相除。辗转相除的原理导致其跑完一遍只能将其消成上三角矩阵。然后这个过程中行列式只会有正负的变化，那么所有的 $1$ 操作对行列式的贡献在上三角矩阵中就已经可以直接相乘求得了。

本身是需要将其 $\times \frac{1}{c}$，但因为最后还要倒过来，所以就直接乘 $c$ 计算就好了。

同时提醒我们，因为行列式跑的是最小生成树的方案数，所以若是塞进去无用的点会导致方案数变为 $0$。

辗转相除不得往回消。

[SHOI2016]黑暗前的幻想乡

也可以算作是板题，不过套了个简单容斥。

[JSOI2008]最小生成树计数

如何证明：按边权排序分层后，相同权值的边选取可行的 $k$ 条对后面的层无影响，也就是无后效性。若是正确，则可以应用乘法原理来计算方案数，因为层层之间实际上独立。

在 kruskal 执行的过程中，对于 $x$ 条相同权值的边，从中选取 $k$ 条边保证选取后图为森林，这样形成的所有联通块的内部信息（只考虑有哪些节点，连接方案无所谓）是相同的。

考虑反证法，若不相同，则一定存在一条当前权值的边连接某两个联通块，使得这两者合并。

双倍经验 （甚至连代码都不用改，省选直接放两年前原题可还行）

对于这种分层的需要注意：

• 初始跑一遍判是否有解。

• 需要将除本层以外应加入的边加入后再去做。

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Part 7 矩阵的秩

简单来说，秩就是：矩阵内部的极大 线性独立 向量的数目，自然有行列之分。

线性独立的一些向量，如果删去了某一个，那么它就不能被剩下的向量给表示出来。

更严谨的定义可以去网络上搜索，这里不过于详细地介绍。因为实际用处不大

现阶段，你大概只需要知道：秩就是高消出来的阶梯形矩阵的主元个数。

定义 $r(A)$ 表示矩阵 $A$ 的秩。

练习

POJ1830 开关问题

按照每个开关的效果构造出对应的向量，将它们转化为若干线性无关的向量，然后根据题意判断即可。

线性方程组

这里就可以用到前面那个定义了。对于 $B=(A|x)$，分讨一下（已经通过高消转成线性无关的若干向量）：

• 无解的判断是 $r(B)>r(A)$，也就是某向量属于 $A$ 的部分都为 $0$，属于 $x$ 的却非零。

• 有解且 $r(A)=n$，那么有唯一解。

• 有解且 $r(A)<n$，那么有无穷多解。

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Part 8 线性基

前置知识

线性基指的是能够用 向量集合中若干向量通过线性运算得到 表示出来的向量集合。

更公式化地，可以描述为：对于线性无关的 $n$ 个向量 $x_1,x_2\cdots x_n$，所有可以表示为 $a_1x_1+a_2x_2+\cdots a_nx_n$ 的向量组成的集合，就是一个线性基。

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高消不会改变线性基

线性基可以用若干个线性无关的向量来描述，而高消的过程，实质上就是将这些线性无关向量求出的过程。

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关于代码实现

这里推荐一种阳间的写法：

LL val[53];
inline void insert(LL x){for(int i=50;i>=0;i--)if((x>>i)>0){if(!val[i]){val[i]=x;break;}x^=val[i];}return;}

是支持动态插入维护的线性基。

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练习

模板题

通过高消得到的阶梯型矩阵，满足每个主元列上，除了主元以外其他元素都为 $0$。

根据这个性质，我们就可以贪心选取了。

CF388D

这道题考察大家对于线性基知识的掌握程度，然后用这些知识写出转移方程式。

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$\texttt{2020-11-06 扩展题练习}$

纪念一下第一次在 VJ 上拿 Rank 1。

这里面的题目都还不错，除了毒瘤高精 E。

下面五道是我觉得非常妙的，可以从中学到不少技巧性的东西。比如说如何构建转移矩阵，以及矩阵和一些算法的经典组合运用。

禁忌

经典多合一。

杰杰的女性朋友

考验矩阵运算性质的运用。

Fibonacci Strings

两个套路结合起来的题。

Axel and Marston in Bitland

算是这之中比较简单的一道。

向量内积

其实和线性代数关系并不是非常大，是道妙妙乱搞。

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本文作者：zjjws
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