整除分块的向上向下取整写法

首先向上取整有一个证明，这个我之前写过。

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推导

对于向上取整，求：

$$\sum_{i=1}^{n} \left \lceil \frac{n}{i} \right \rceil$$

设：

$$\left \lceil \frac{n}{i} \right \rceil=m$$

对于相同的 $m$ ，满足：

$$i\times (m-1)< n\le i\times m$$

$$\frac{n}{m}\le i<\frac{n}{m-1}$$

因为 $i$ 是整数

$$\frac{n}{m}\le i\le \frac{n-1}{m-1}$$

所以对于当前找到的一个左端点 $i$，求出对应的 $m$，然后算出值 $m$ 相同的区间的右端点就好了。

注意在向上取整的时候要特判 $m=1$ 的情况，右边界为 $n$，不然会出现 $\frac{n}{0}$ 导致RE。

向下取整超级简单，更好推还不用特判，对于点 $i$，右边界就等于：

$$\left\lfloor \frac{n}{\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor}\right\rfloor$$

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练习

[HAOI2011]Problem b

简单的运用。

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本文作者：zjjws
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