整除分块的向上向下取整写法

首先向上取整有一个证明，这个我之前写过。

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推导

对于向上取整，求：

\[\sum_{i=1}^{n} \left \lceil \frac{n}{i} \right \rceil \]

设：

\[\left \lceil \frac{n}{i} \right \rceil=m \]

对于相同的 \(m\) ，满足：

\[i\times (m-1)< n\le i\times m \]

\[\frac{n}{m}\le i<\frac{n}{m-1} \]

因为 \(i\) 是整数

\[\frac{n}{m}\le i\le \frac{n-1}{m-1} \]

所以对于当前找到的一个左端点 \(i\)，求出对应的 \(m\)，然后算出值 \(m\) 相同的区间的右端点就好了。

注意在向上取整的时候要特判 \(m=1\) 的情况，右边界为 \(n\)，不然会出现 \(\frac{n}{0}\) 导致RE。

向下取整超级简单，更好推还不用特判，对于点 \(i\)，右边界就等于：

\[\left\lfloor \frac{n}{\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor}\right\rfloor \]

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练习

[HAOI2011]Problem b

简单的运用。