⌈ ⌉

尝试证明：

\[\left \lceil \frac{a}{kz} \right \rceil =\left \lceil \frac{\left \lceil \frac{a}{k} \right \rceil }{z} \right \rceil \]

设 $x=\left \lceil \frac{a}{k} \right \rceil $，所以 \(\frac{a}{k}=x-r,0\le r < 1\)。

两边分别化为:

\[\left \lceil \frac{x-r}{z} \right \rceil \]

和

\[\left \lceil \frac{x}{z} \right \rceil \]

先假设两式不相等。

设 $ \left \lceil \frac{x}{z} \right \rceil=m$，则 \(\left \lceil \frac{x-r}{z} \right \rceil\) 最大为 \(m-1\)。

可得：

\[z\times (m-1)< x\le z\times m,x-r<=z\times (m-1) \]

提取有用部分结合，得：

\[z\times (m-1)<x\le z\times (m-1)+r \]

因为\(0\le r<1\)，所以上式等价于：

\[z\times (m-1)<x\le z\times (m-1) \]

原假设不成立。

故：

\[\left \lceil \frac{x-r}{z} \right \rceil= \left \lceil \frac{x}{z} \right \rceil \]

即：

\[\left \lceil \frac{a}{kz} \right \rceil =\left \lceil \frac{\left \lceil \frac{a}{k} \right \rceil }{z} \right \rceil \]

向下取整也是一样的证法。