质数筛

质数筛

闲谈

原因

芜湖，蒟蒻的第十篇博客。（\(NOIP\)加油！！！）

背景

之前一直很想学习这里但是没有抽出时间，今天身体不适待在家中，就趁机学习了一下。

质数筛

背景

我们在信息竞赛的题目当中，很多时候会看到和质数相关的问题，我们如果用传统的遍历法的话，时间复杂度为\(O(\sqrt{n})\)，并且一次只能求解一个。

bool isprime(int n){
    for(int i = 2;i <= sqrt(n); i++)
        if(n % i == 0) return false;
    return true;
}

但我们往往会遇到求解一个区间内的质数总数的时候，这时候往往会造成太大的时间复杂度，质数筛就是一种可以将时间复杂度降低为线性的优秀方法。

理解

首先我们来了解一下什么叫做质数筛，首先我们开一个\(bool\)类型的数组，将它的大小定义为我们所需要求范围中的最大值，并将它们都赋值为真\(is_prime[maxn] = true;\)，这个数组中的元素如果为\(true\)那么说明这个数为质数，如果为\(false\)那么说明便不为质数，如何将合数找出来便非常的关键了。

埃拉托斯特尼筛法

这个过程是这样实现的，首先从\(1\)开始，\(1\)既不是质数也不是合数，所以标记为\(false\)；接着是\(2\)，\(2\)是质数，便标记为\(true\)，注意将\(2\)到\(maxn\)中所有能被\(2\)整除的数都标记为\(false\)；接着是\(3\)，标记为\(true\)，将到\(maxn\)能被\(3\)整除的数标记为\(false\)；接下来，我们发现\(4\)已经被标记为\(false\)了，所以我们跳过它，将没有被标记过的\(5\)标记为\(true\)，将到\(maxn\)能被\(5\)整除的数标记为\(false\)；并一直做下去，就会把不超过\(false\)的合数全部标记为\(0\)，不超过\(maxn\)的质数全部标记为\(true\)。因为这个过程最开始是希腊人是把数写在涂腊的板上，每要划去一个数，就在上面记以小点，寻求质数的工作完毕后，这许多小点就像一个筛子，并且是由埃拉托斯特尼发明的，所以叫做“埃拉托斯特尼筛法”，简称“筛法”。

int prime[MAXN];      //素数数组
bool isprime[MAXN + 10];      //is_prime[i]表示i是素数
//返回n以内素数的个数
int solve(int n){
    int p = 0;      //素数个数计数器
    for (int i = 0; i <= n; i++)
        is_prime[i] = true;
    is_prime[0] = is_pri[1] = false;      //首先标记0和1不是素数
    for (int i = 2; i <= n; i++){
        if (is_prime[i]){      //如果i是素数
            prime[++p] = i;      //将素数放进素数表
            for (int j = 2 * i; j <= n; j += i)      //所有i的倍数都不是素数
                is_prime[j] = false;
        }
    }
    return p;
}

但是我们会发现，例如\(6\)这个数字，会被\(2\)和\(3\)重复筛去一遍，会造成不必要的计算，时间复杂度是\(O(nlognlogn)\)所以我们将这个方法进行了改进。

欧拉筛

欧拉筛的核心是：让每一个合数被最小质因数筛去。我们来看一个具体的例子。

\[\large{2\quad3\quad4\quad5\quad6\quad7\quad8\quad9\quad10\quad11\quad12\quad13\quad14\quad15\quad16} \]

\[primes:() \]

这次我们还运用了一个\(**质数表**\)prime[maxn]$来维护，首先把\(2\)把它加入到质数表当中，并在原数组中删除；

\[\large{\color{blue}2\quad3\quad4\quad5\quad6\quad7\quad8\quad9\quad10\quad11\quad12\quad13\quad14\quad15\quad16} \]

\[primes:(2) \]

并且用\(2\)来乘质数表中的每一个数，这里只有\(2\)，所以得出的是\(4\)，所以我们将\(4\)在原数组中划去；

\[\large{\color{blue}2\quad3\quad\color{red}4\quad5\quad6\quad7\quad8\quad9\quad10\quad11\quad12\quad13\quad14\quad15\quad16} \]

\[primes:(2) \]

接下来是\(3\)，我们也同样将 它加入到质数表中，并在原数组中删除；

\[\large{\color{blue}2\quad\color{blue}3\quad\color{red}4\quad5\quad6\quad7\quad8\quad9\quad10\quad11\quad12\quad13\quad14\quad15\quad16} \]

\[primes:(2, 3) \]

同时与质数表中的每一个数字相乘，得到\(6\)和\(9\)，将它们划掉；

\[\large{\color{blue}2\quad\color{blue}3\quad\color{red}4\quad5\quad\color{red}6\quad7\quad8\quad\color{red}9\quad10\quad11\quad12\quad13\quad14\quad15\quad16} \]

\[primes:(2, 3) \]

接下来是\(4\)（注意\(4\)也是需要遍历的，只是不加入到质数表当中而已），我们划掉\(8\)，但是不划掉\(12\)，因为我们说欧拉筛的核心是让每一个合数被最小的质因数筛去，应该用\(2\)去筛去\(12\)。

\[\large{\color{blue}2\quad\color{blue}3\quad\color{red}4\quad5\quad\color{red}6\quad7\quad\color{red}8\quad\color{red}9\quad10\quad11\quad12\quad13\quad14\quad15\quad16} \]

\[primes:(2, 3) \]

我们分析，对于一个数\(x\)，我们遍历到质数表中的\(p\)时，如果发现\(p|x\)，那么我们就应该停止遍历整个质数表。我们来证明一下：设\(x = pr(r \geq p)\)(\(p\)为\(x\)的最小质因数)，那么对于任意的\(p' > p\)，有\(p'x = pp'r = p(p'r)\)，即说明\(p'x\)的最小质因数不是\(p'\)，不应该在这里划掉。
按照这个思路我们可以得到。

\[\large{\color{blue}2\quad\color{blue}3\quad\color{red}4\quad\color{blue}5\quad\color{red}6\quad\color{blue}7\quad\color{red}8\quad\color{red}9\quad\color{red}{10}\quad\color{blue}{11}\quad\color{red}{12}\quad\color{blue}{13}\quad\color{red}{14}\quad\color{red}{15}\quad\color{red}{16}} \]

\[primes:(2, 3, 5, 7, 11, 13) \]

代码如下

int cnt = 0;
bool isprime[MAXN];
int primes[MAXN];
void solve_plus(int n){
    for (int i = 2; i <= n; i++){
        if (!isprime[i])
            primes[++cnt]  = i;
        for (int p = 1; p <= cnt; p++){
            if (p * i > n)
                break;
            isprime[p * i] = 1;
            if (i % p == 0)
                break;
        }
    }
}

那么这就是我们在信息竞赛中最常用到的两种质数筛了，多多敲代码更有助于理解。
完结撒花ヾ(✿ﾟ▽ﾟ)ノ