最短路问题(1)
最短路问题\(（1）\)
闲扯
原因
本蒟蒻记性不太好怕忘（一样的说辞ヽ(ー_ー)ノ），咳，写这篇最短路的文章来扎实自己的基础（同时让自己搞的更明白点）。
背景
在做图论题的时候，我们往往会通过最短路来进行一些操作，在这篇和下篇文章里我将会介绍\(Dijkstra\)和\(SPFA\)两种常见的方法来解决最短路问题。
\(Dijkstra\)
背景
\(Dijkstra\)可以说是最经典的最短路算法之一了，也是我们在进行算法比赛时在无负边权图时首选的算法（\(SPFA\)已废，\(Dijstra\)当立（划去））。这种算法是由荷兰计算机大神\(Edsger Wybe Dijkstra\)创造的方法，也以他的名字命名。
分析
\(Dijkstra\)的思路是：设置定点集合\(S\)，首先将起始点加入该集合，然后根据起始点到其他定点的路径长度，选择长度最小的定点加入集合，根据所加入定点更新远点到其他定点的路径长度，然后再选取最小变的定点。一次来做，知道求解出到达所有定点的路径长度，然后再选取最小边的定点。一次来做，知道求解出到达所有定点的路径长度。（百度给的解释真是简洁晦涩(^_−)☆）。我是这样理解的，这时一个贪心的思路来做的，首先我们开一个数组记录将所有的路径权重\(dis[N]\)都设为\(Max\)，我们找到我们的起点\(u\)，将其表记起来，将起点的路径权重设为\(0\)，然后将它所能直接到达的点将他们的路径权重设为\(dis[v] = w[u,v]\)，然后我们将\(dis\)数组中的最小值，这个值就是起点到这个点的最小路径，我们将这个点添加到一个集合当中，这个顶点就不再需要更新了，接下来，我们观察新加入的顶点是否可以到达其他顶点，并且通过这个顶点到达是否距离比起点开始距离要近，如果是的话，我们就再将这个顶点添加入之前的集合当中，接下来就在此重复上述的操作，直到我们往里面添加顶点的数组中已经包含了图的所有顶点。
具体例子
接下来我们来看一个具体的例子来更好的理解\(Dijkstra\)算法。我们来看这样的一个场景。
在这张图中，我们需要求出从点\(1\)到点\(6\)的最短路径，在这里我们用之前提到的链式前向星来存图，不了解的可以看看链式前向星。
这里我们首先找到起点\(1\)并将\(1\)点的距离设为\(0\)，并标记上已访问。然后找出它可以直接到达的顶点\(2\)和\(3\)，并更新他们的距离。
这时我们看到到\(3\)的距离最小是\(3\)那么我们便将\(3\)这个点标记上。
这时我们再从点\(3\)出发，发现他可以到达\(2、4、5\)三个点，更新他们。
我们看到从点\(3\)到点\(2\)比从点\(1\)到点\(2\)的距离还要短，所以我们决定从\(1\)到\(3\)到\(2\)，标记上点\(2\)。
这时我们再从\(2\)点出发，与点\(2\)相连接的为4点，我们发现从\(2\)到\(4\)比原来的距离要远，所以更新并标记点\(4\)。
然后再更新与点\(4\)连接的点\(5\)和点\(6\)。
我们可以发现点\(5\)无法再更新了，记录下点\(5\)。
然后到达点\(6\)，并标记。
这时我们发现所有的点已经都被标记了，所以我们就得到的最短路。
代码实现
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define INF 0x3f3f3f
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 10;
int n, m, cnt = 0;
int head[maxn], dis[maxn], vis[maxn];
struct edge{
int to, next, w;
}e[maxn];
void add(int u, int v, int w){
e[++cnt].next = head[u];
e[cnt].to = v;
e[cnt].w = w;
head[u] = cnt;
}
void Dijkstra(){
dis[1] = 0;
for(int i = 1; i < n; i++){
int minn = INF, now;
for(int j = 1; j <= n; j++)
if(!vis[j] && dis[j] < minn){
minn = dis[j];
now = j;
}
vis[now] = true;
for(int j = head[now]; j; j = e[j].next){
int to = e[j].to;
if(!vis[to]) dis[to] = min(dis[to], dis[now] + e[j].w);
}
}
}
int main(){
memset(dis, INF, sizeof(dis));
memset(vis, false, sizeof(vis));
scanf("%d %d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= m; i++){
int u, v, w; scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
add(u, v, w); //存储单向图,如果存储双向图的话加上add(v, u, w);
}
int s = 1, t = n; //s为起点,w为终点
Dijkstra();
printf("%d\n", dis[t]);
return 0;
}
我们来模拟一遍这个图。
芜湖~可以看出我们得出了正确的结果。那么这就是\(Dijkstra\)算法的模板了，在做题过程中我们需要灵活的运用才能够取得理想的成绩。
完结撒花ヾ(✿ﾟ▽ﾟ)ノ
