实变函数论笔记
实变函数论
第二章 Lebesgue测度
2.1 点集的Lebesgue外测度
定义2.1 设,若
是
中可数个开矩体,且有
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则称
![](https://images2018.cnblogs.com/blog/494740/201807/494740-20180722194709582-36728600.png)
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为点集
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若
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![](https://images2018.cnblogs.com/blog/494740/201807/494740-20180722194711319-2008204128.png)
则
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定理2.1 中点集的外测度性质
(1)非负性:
(2)单调性:若
(3)次可加性:
2.2 可测集与测度
定义2.2 设。若对任意的点集
,有
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则称E为Lebesgue可测集,简称为可测集,其中
![](https://images2018.cnblogs.com/blog/494740/201807/494740-20180722194745930-1919981493.png)
注:
(1)在证明时,我们只需要对任一点集,证明
![](https://images2018.cnblogs.com/blog/494740/201807/494740-20180722194755582-2076239357.png)
即可
(2)外测度为零的点集称为零测集。
定理2.6 可测集的性质
(1)
(2)若
(3)若,则
都属于
(4)若,则其并集也属于
,若进一步
,则
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即
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![](https://images2018.cnblogs.com/blog/494740/201807/494740-20180722194801780-204375566.png)
![](https://images2018.cnblogs.com/blog/494740/201807/494740-20180722194802104-135825005.png)
注
从定理的结论(1)(2)(4)可知,中可测集类构成一个
代数。对于可测集
,其外测度称为测度,记为
,这就是通常所说的
上的Lebesgue测度。
第三章 可测函数
3.1 可测函数的定义及其性质
定义3.1 设是定义在可测集
上的广义实值函数。若对于任意的实数
,点集
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是可测集,则称
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![](https://images2018.cnblogs.com/blog/494740/201807/494740-20180722194806060-1699210294.png)
![](https://images2018.cnblogs.com/blog/494740/201807/494740-20180722194806218-751614934.png)
![](https://images2018.cnblogs.com/blog/494740/201807/494740-20180722194806399-458755682.png)
定理3.4 可测函数的运算性质:若是
上的实值可测函数,则下列函数
(1)
(2)
(3)
都是上的可测函数。
定理3.6 可测函数的运算性质:若是
上的可测函数列,则下列函数
(1)
(2)
(3)
(4)
都是上的可测函数。
3.2 可测函数列的收敛
几乎处处收敛与一致收敛
定义3.5 设是定义在点集
上的广义实值函数。若存在
中的点集
,有
及
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则称
![](https://images2018.cnblogs.com/blog/494740/201807/494740-20180722194814475-751377240.png)
![](https://images2018.cnblogs.com/blog/494740/201807/494740-20180722194814677-1052037473.png)
![](https://images2018.cnblogs.com/blog/494740/201807/494740-20180722194814890-821806941.png)
![](https://images2018.cnblogs.com/blog/494740/201807/494740-20180722194815110-453702040.png)
注 一致收敛:令是一个函数列,并且,对于任意的
,存在
,使得当
时,
![](https://images2018.cnblogs.com/blog/494740/201807/494740-20180722194817779-1277862376.png)
成立,则称
![](https://images2018.cnblogs.com/blog/494740/201807/494740-20180722194818351-257635968.png)
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![](https://images2018.cnblogs.com/blog/494740/201807/494740-20180722194818896-883043511.png)
几乎处处收敛与依测度收敛
定义3.6 设是
上几乎处处有限的可测函数,若对任意的
,有
![](https://images2018.cnblogs.com/blog/494740/201807/494740-20180722194819716-397871761.png)
则称
![](https://images2018.cnblogs.com/blog/494740/201807/494740-20180722194819924-713906033.png)
![](https://images2018.cnblogs.com/blog/494740/201807/494740-20180722194821687-866293013.png)
![](https://images2018.cnblogs.com/blog/494740/201807/494740-20180722194821843-791139279.png)
3.3 可测函数与连续函数
第四章 Lebesgue积分
非负可测函数的积分
定义4.1 设是
上的非负可测简单函数,它在点集
上取值为
:
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