实变函数论笔记

实变函数论

第二章 Lebesgue测度

2.1 点集的Lebesgue外测度

定义2.1 设，若是中可数个开矩体，且有

则称为E的一个L-覆盖。我们称

为点集的Lebesgue外测度。
若的任意的L-覆盖均有

则，否则

定理2.1 中点集的外测度性质
（1）非负性：
（2）单调性：若
（3）次可加性：

2.2 可测集与测度

定义2.2 设。若对任意的点集，有

则称E为Lebesgue可测集，简称为可测集，其中称为试验集

注：
（1）在证明时，我们只需要对任一点集，证明

即可
（2）外测度为零的点集称为零测集。

定理2.6 可测集的性质
（1）
（2）若
（3）若，则都属于
（4）若，则其并集也属于，若进一步，则

即在上满足可数可加性（或称为）

注
从定理的结论（1）（2）（4）可知，中可测集类构成一个代数。对于可测集，其外测度称为测度，记为，这就是通常所说的上的Lebesgue测度。

第三章 可测函数

3.1 可测函数的定义及其性质

定义3.1 设是定义在可测集上的广义实值函数。若对于任意的实数，点集

是可测集，则称是上的可测函数，或称在上可测

定理3.4 可测函数的运算性质：若是上的实值可测函数，则下列函数
（1）
（2）
（3）
都是上的可测函数。

定理3.6 可测函数的运算性质：若是上的可测函数列，则下列函数
（1）
（2）
（3）
（4）
都是上的可测函数。

3.2 可测函数列的收敛

几乎处处收敛与一致收敛

定义3.5 设是定义在点集上的广义实值函数。若存在中的点集，有及

则称在上几乎处处收敛于，并简记为

注 一致收敛：令是一个函数列，并且，对于任意的，存在，使得当时，

成立，则称一致收敛到，写作

几乎处处收敛与依测度收敛

定义3.6 设是上几乎处处有限的可测函数，若对任意的，有

则称在上依测度收敛于

3.3 可测函数与连续函数

第四章 Lebesgue积分

非负可测函数的积分

定义4.1 设是上的非负可测简单函数，它在点集上取值为：