HNOI2008 玩具装箱toy （BZOJ1010，斜率dp）

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1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

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Description

P 教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维 容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。 同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度 将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作 出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

HINT

Source

 

又做了一道斜率dp模板题。。这题方程比较烦。。不过把前缀和数组sum[i]再加一个i之后会简单很多

 

slope(k,j) = (dp[k]-dp[j]+sqr(sum[k])-sqr(sum[j])+2*(L+1)*(sum[k]-sum[j])) / (sum[k]-sum[j])

dp[i] = min{dp[j] + (sum[i]-sum[j]-1-l)^2};

#include<set>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 50010;
#define For(i,n) for(int i=1;i<=n;i++)
#define Rep(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)

long long sum[N],dp[N];
int q[N],n,L;

long long sqr(long long a){return (a*a);}

long long up(int k,int j){return (dp[k]-dp[j]+sqr(sum[k])-sqr(sum[j])+2*(L+1)*(sum[k]-sum[j]));}

long long down(int k,int j){return (sum[k]-sum[j]);}

void DP(){
    int l=0,r=1;
    For(i,n){
        while(l+1<r && up(q[l],q[l+1])>2*sum[i]*down(q[l],q[l+1])) l++;
        dp[i]=dp[q[l]]+sqr(sum[i]-sum[q[l]]-1-L);
        while(l+1<r && up(q[r-2],q[r-1])*down(q[r-1],i)>=up(q[r-1],i)*down(q[r-2],q[r-1])) r--;
        q[r++]=i;
    }
    printf("%lld\n",dp[n]);
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&L);
    For(i,n) {
        scanf("%lld",&sum[i]);
        sum[i]+=sum[i-1];
    }
    For(i,n) sum[i]+=i;
    DP();
    return 0;
}