进阶数论（1）逆元

    [背景]

    我们知道根据随时取模原理（a*b）mod p=（ a mod p*b mod p）mod p。那么对于除法有没有（a/b）mod p=（ a mod p/b mod p）mod p这个性质呢？很显然是没有的。这个时候，我们就有必要引入逆元这个概念。

    

    [概念]

    我们想，如果可以把（a/b）mod p转化为（a*k）mod p就可以运用随时取模。那么这个k就是b在模p意义下的逆元（b，p字母含义在本篇文章通篇适用），简写为inv（b）。

      

    [求逆元]

那么对于一个数b，它的逆元时多少呢？我们可以类比倒数来解决这一问题。倒数的定义是这样的：一个数除以另一个数，就相当于乘这个这个数的倒数。如5/6=5*（1/6）,（1/6）就是6的倒数。对于一个数有

a*（a的倒数）=1

    类比一下

b*inv（b）≡1（mod p）

    此时我们如果想要知道k的值，我们需要再引入费马小定理：如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有

a^（p-1）≡1（mod p）

    那么有

b*b^（p-2）≡1 （mod p）

    那么

inv（b）≡b^（p-2）（mod p）

    有了这个等式，我们可以轻松用快速幂求得inv（b），但是我们还可以用扩展欧几里得来求逆元。但是由费马小定理的前提可得b和p互质。也就说明如果b和p不互质，则b没有在模p意义下的逆元，这在用扩展欧几里得中也是一个非常重要的前提。

    

2019-05-02 19:12:48