●BZOJ 4318 OSU!

题链：

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4318
题解：

期望dp
如果我们能够得到以每个位置结尾形成的连续1的长度的相关期望，那么问题就好解决了。

定义g[i]表示以1位置结尾的连续1的长度的期望。
转移显然：g[i]=p[i]*(g[i]+1)
然后定义h[i]表示以1位置结尾的连续1的长度的平方的期望
由于(x+1)^2=x^2+2x+1，
所以h[i]=p[i]*(h[i-1]+2*g[i-1]+1)

最后定义f[i]表示1～i这个区间期望能得到的分数，
分为此时i位置得到1和得到0两种情况：
得到1，由于(x+1)^3=x^3+3*x^2+3x+1 那么贡献为:p[i]*(f[i-1]+3*h[i-1]+3*g[i-1]+1)
得到0，那么直接为前面的期望得分，贡献为(1-p[i])*f[i-1]
所以f[i]的转移为:f[i]=(得到1)p[i]*(f[i-1]+3*h[i-1]+3*g[i-1]+1)+(得到0)(1-p)*f[i-1];

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==，难道没有感觉这个f[i]的转移有一丝丝诡异么？
先看看这个错的做法，
多了一个d[i]，表示以i结尾形成的连续1的长度的3次方的期望。
那么其转移类似g和h的转移：
d[i]=p[i]*(d[i-1]+3*h[i-1]+3*g[i-1]+1)
然后再去求得f[i]，同样地分为当前第i位得到1和得到0两种情况：
f[i]=(得到1)d[i]+(得到0)(1-p[i])*f[i-1]

乍一看似乎没问题，但是在(得到1)那里却出了问题：
f[i]表示的是1～i这个区间期望能够得到的分数，
但是在(得到1)这个转移这里，我们却只考虑了以i结尾的期望的那段1的贡献，然而其它部分的贡献就没有转移过来。
这也就是这个做法得到的答案比正确答案小的原因。
(可以强行把之前的贡献再加进来么？233,我反正加不来。。。)

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现在再反过来看看之前正确的f[i]的求法(没有d[i]数组的那个做法)
f[i]=(得到1)p[i]*(f[i-1]+3*h[i-1]+3*g[i-1]+1)+(得到0)(1-p)*f[i-1];

显然(得到0)的那个转移没有问题。

那么我们来想想(得到1)的那么那个转移是如何解决掉那个错误做法出现的问题的。
由于f[i-1]表示的是区间1～i-1的期望得分，
那么我们就可以把f[i-1]看成是由两个部分组成的：
一个部分是以i-1结尾的期望的那段连续的1造成的贡献A(一个长度的3次方的期望)，另一部分则是其它部分的贡献B：
所以(得到1)这个转移可以看成是：p[i]*(B+A+3*h[i-1]+3*g[i-1]+1)，
显然，后面的A+3*h[i-1]+3*g[i-1]+1计算的就是以i结尾形成的连续1的长度的3次方的期望，
而B则是其它部分的贡献。
所以就是这样巧妙地把新的贡献和其它部分的贡献都统计进了f[i]里面。

以上就是个人的见解。

代码：

 

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 100005
using namespace std;
double g[MAXN],h[MAXN],f[MAXN],p;
int N;
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>N;
	for(int i=1;i<=N;i++){
		cin>>p;
		g[i]=p*(g[i-1]+1);
		h[i]=p*(h[i-1]+2*g[i-1]+1);
		f[i]=p*(f[i-1]+3*h[i-1]+3*g[i-1]+1)+(1-p)*f[i-1];
	}
	cout<<fixed<<setprecision(1)<<f[N]<<endl;
	return 0;
}