●BZOJ 3561 DZY Loves Math VI

题链：

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3561

题解：

莫比乌斯反演

$$\begin{aligned}
ANS&=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)^{gcd(i,j)}\\
&=\sum_{g=1}^{min(n,m)}\sum_{i=1}^{\frac{n}{g}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{g}}g^gi^gj^g[gcd(i,j)==1]\\
&=\sum_{g=1}^{min(n,m)}g^g\sum_{i=1}^{\frac{n}{g}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{g}}i^gj^g\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)\\
&=\sum_{g=1}^{min(n,m)}g^g\sum_{d=1}^{min(\frac{n}{g},\frac{m}{g})}\mu(d) \sum_{i=1}^{\frac{n}{gd}}(id)^g\sum_{j=1}^{\frac{m}{gd}}(jd)^g\\
&=\sum_{g=1}^{min(n,m)}g^g\sum_{d=1}^{min(\frac{n}{g},\frac{m}{g})}\mu(d)\times d^{2g} \sum_{i=1}^{\frac{n}{gd}}i^g\sum_{j=1}^{\frac{m}{gd}}j^g\\
\end{aligned}$$

上面这个式子直接$O(NlogN)$计算就好了。

代码：

 

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 500050
using namespace std;
const int mod=1000000007;
int mu[MAXN],mi[MAXN],smi[MAXN];
int Pow(int a,int b){
	int ret=1;
	while(b){
		if(b&1) ret=1ll*ret*a%mod;
		b>>=1; a=1ll*a*a%mod;
	}
	return ret;
}
void Sieve(){
	static bool np[MAXN];
	static int prime[MAXN],pnt;
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=500000;i++){
		if(!np[i]) prime[++pnt]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=pnt&&i<=500000/prime[j];j++){
			np[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]) mu[i*prime[j]]=-mu[i];
			else break;
		}
	}
}
int main(){
	Sieve();
	int n,m,ans=0; scanf("%d%d",&n,&m);
	if(n>m) swap(n,m);
	for(int i=1;i<=500000;i++) mi[i]=1;
	for(int g=1,gg;g<=n;g++){
		gg=Pow(g,g);
		for(int i=1;i<=m/g;i++)
			mi[i]=1ll*mi[i]*i%mod,smi[i]=(1ll*smi[i-1]+mi[i])%mod;
		for(int d=1;d<=n/g;d++)
			ans=(1ll*ans+1ll*mu[d]*mi[d]%mod*mi[d]%mod*smi[n/(g*d)]%mod*smi[m/(g*d)]%mod*gg%mod)%mod;
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}