●BZOJ 3994 [SDOI2015]约数个数和

题链：

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3994

题解：

莫比乌斯反演

（先定义这样一个符号[x]，如果x为true，则[x]=1，否则[x]=0）

首先有这么一个结论：

令d(x)表示x的约数的个数，那么

$d(nm)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}[gcd(i,j)==1]$

证明：

设$n=p1^{x1}p2^{x2}p3^{x3}\cdots pk^{xk}，m=p1^{y1}p2^{y2}p3^{y3}\cdots pk^{yk}$

则$nm=p1^{x1+y1}p2^{x2+y2}p3^{x3+y3}\cdots pk^{xk+yk}$

由约数定理，$d(nm)=(x1+y1+1)(x2+y2+1)(x3+y3+1)\cdots(xk+yk+1)$

再设$i=p1^{a1}p2^{a2}p3^{a3}\cdots pk^{ak}，j=p1^{b1}p2^{b2}p3^{b3}\cdots pk^{bk}$

如果gcd(i,j)=1，那么必须满足a1==0或者b1==0，

如果a1==0，则b1有y1种取值，如果b1==0，则a1有x1种取值，同时a1和b1还可以同时为0

那么就有(x1+y1+1)种情况，

即只考虑p1的指数，就有(x1+y1+1)种情况，同时枚举的i，j如果互质的话，后面的a2,b2,a3,b3...也满足这个条件，

所以满足条件的i，j的对数为$\prod (x_i+y_i+1)$ 和约数定理的形式相同。 

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有了这个结论，我们来化一化求ANS的式子

$ANS=\sum_{n=1}^{N}\sum_{m=1}^{M}d(nm)$

$\quad\quad=\sum_{n=1}^{N}\sum_{m=1}^{M}\sum_{i|n}\sum_{j|m}[gcd(i,j)==1]$

$\quad\quad=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}[gcd(i,j)==1]\lfloor \frac{N}{i} \rfloor \lfloor \frac{M}{j} \rfloor$

同时由于刚刚入门mobius时，有这么一个式子：

$w(x)=\sum_{d|x}\mu(d)$ 若x==1则w(x)=1，否则w(x)=0

所以：$[gcd(i,j)==1]=\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)$

那么继续：

$ANS=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}\lfloor \frac{N}{i} \rfloor \lfloor \frac{M}{j} \rfloor\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)$

$\quad\quad=\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)\sum_{i=1}^{N/d}\lfloor \frac{N}{id}\rfloor\sum_{j=1}^{M/d}\lfloor \frac{M}{jd}\rfloor$

令$f(x)=\sum_{i=1}^{x}\lfloor \frac{x}{i}\rfloor$

则$ANS=\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)f(\lfloor \frac{N}{d} \rfloor)f(\lfloor \frac{M}{d} \rfloor)$

而f(x)就是最开始的d(x)的前缀和。。。但是需要预处理的x的范围小了很多，可以用线筛完成。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define ll long long 
#define MAXN 50050
using namespace std;
ll f[MAXN];
int mu[MAXN];
void Sieve(){
	static bool np[MAXN];
	static int prime[MAXN],pnt;
	f[1]=mu[1]=1;
	for(int i=2,tmp,d;i<=50000;i++){
		if(!np[i]) prime[++pnt]=i,mu[i]=-1,f[i]=2;
		for(int j=1;j<=pnt&&i<=50000/prime[j];j++){
			np[i*prime[j]]=1; tmp=i; d=1;
			while(tmp%prime[j]==0) tmp/=prime[j],d++;
			f[i*prime[j]]=f[tmp]*(d+1);
			if(i%prime[j]) mu[i*prime[j]]=-mu[i];
			else break;
		}
	}
	for(int i=2;i<=50000;i++)
		f[i]+=f[i-1],mu[i]+=mu[i-1];
}
int main(){
	Sieve(); ll ans;
	int Case,n,m,mini;
	scanf("%d",&Case);
	while(Case--){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		mini=min(n,m); ans=0;
		for(int d=1,last;d<=mini;d=last+1){
			last=min(n/(n/d),m/(m/d));
			ans+=(mu[last]-mu[d-1])*f[n/d]*f[m/d];
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}