数据结构与算法分析(1)——约瑟夫问题
0 问题描述
据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事:在罗马人占领乔塔帕特后,39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中,39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到,于是决定了一个自杀方式,41个人排成一个圆圈,由第1个人开始报数,每报数到第3人该人就必须自杀,然后再由下一个重新报数,直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。问题是,给定了和,一开始要站在什么地方才能避免被处决?Josephus要他的朋友先假装遵从,他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置,于是逃过了这场死亡游戏。[1]
简单地说就是n个人围成一个圈,假设编号为0~n-1,报数范围为1~m。从第0个人开始报数,每报到m,这个人就出局。接着下一个人从1开始重新报数...直到剩下最后一个人。
1 问题解法
该问题常用解法有链表法和数组法,其他的比如公式法和递归法以后补充。个人觉得链表法最容易理解,可能是先入为主的心理,嘿嘿嘿,下面就简单说一下。
1.1 链表法
首先建立长度为n的循环链表,然后头结点开始报数,每第m个数删除一个结点,直到只剩下一个结点。
#include <iostream> using namespace std; struct ListNode { int val; struct ListNode* next; }; /******创建循环链表******/ ListNode* creatCirListNode(int n) { //创建头结点 ListNode *head,*node,*newnode; node = new ListNode; node->val = 0; node->next = NULL; head = node; //创建链表 for (int i = 1; i < n; i++) { newnode = new ListNode; newnode->val = i; node->next = newnode; node = newnode; } //将最后一个结点指向头结点,形成循环链表 node->next = head; return head; } /******约瑟夫问题求解******/ int josephSolution(ListNode* head,int m) { if (NULL == head) { return -1; } ListNode* pNode; //用来遍历结点 pNode = head; while (pNode->next != pNode) //循环终止条件是只剩下一个结点 { for (int i = 0; i < m-1; i++) //报数 { pNode = pNode->next; } cout << pNode->next->val << "->"; pNode->next = pNode->next->next; //删除链表结点 } return pNode->val; } int main() { int n = 41; int m = 3; int result; ListNode* pHead; pHead = creatCirListNode(n); result = josephSolution(pHead, m); cout << result << endl; system("pause"); return 0; }
运行结果:
1.2 数组法
数组法的关键是使用求余的方法循环遍历数组i=(i+1)%n,其中i是数组下标即每个人的标号,n是总人数。当i的值等于n-1时,即遍历至数组最后一个元素,通过求余可使i=0。
借牛客网上的一个题,直接上代码:
int LastRemaining_Solution(int n, int m) { if(n==0) { return -1; } vector<int> childnum(n); //初始化n个元素,每个元素值为0 int count=0; //计出局人数 int step = 0;
/****循环遍历数组****/ for(int i=0;;i=(i+1)%n) { if(childnum[i]==-1) //判断是否出局,是则continue,跳过这个元素 continue; step++; //否则报数 if(step == m) //判断是否报数到m,是则将其置-1,否则继续报数 { childnum[i]=-1; step = 0; //将计数器置0 count++; //记录离开了多少小朋友 } if(count == n) //出局n个人,则游戏结束,返回最后一个的坐标 { return i; break; } } return -1; }
2 结语
没想到人生第一篇博客先给了约瑟夫问题~hahahahahaha~
写博客的目的主要是方便以后查看,希望能一直坚持下去吧,为自己还没开始的程序员生涯留下一点痕迹~