全错位排列

【例1】有编号为1到10的10个球，放到编号为1到10的10个盒子里，球不能放到相当编号的盒子里，一共有多少种不同的放法？

【例2】1-5共5个数字组成无重复数字的五位数，要求数字不能在对应的位数上（比如2不能放在第2位），一共可以组成多少个不同的五位数？

【例3】10个人每人写一封信寄到这10个人中的任意一人，问每个人都没有收到自己的信的情况一共有多少种？

【解析】以上是典型的“全错位”排列问题。所谓全排列，就是每个元素都不在自己对应编号的位置上。

假设对于n个元素的全错位排列共有f(n)种，现在有n+1个元素，对于第n+1个元素，假设它放在第k(1<=k<=n)位，对于第k位上的元素k，有两种情况：

1、k排在第n+1位，那么对于剩下的除k和n+1两个元素，共有n-1个元素，对应的位置也是n-1，所以共有f(n-1)种排列方式。

2、k不排在第n+1位，那么这个时候完全可以把第n+1个位置看成第k个位置（因为元素k不放在此位置，所以相当于这个位置是第k位），这时除了已经放好的第n+1个元素，剩下n个元素，对应的位置也是n，共有f(n)种排列方式。

上述中，对于第k个元素，共有n种选择方式，所以

f(n+1)=n*f(n-1)+n*f(n)，

也就是f(n)=(n-1)*[f(n-1)+f(n-2)]

显然，f(1)=0，f(2)=1，由此可以依此计算出f(n)。