关于齐次方程与齐次线性方程

关于齐次方程与齐次线性方程的定义，很容易让人混淆不清。原因在于“齐次”(homogeneous)一词的滥用。

齐次方程(homogeneous of degree k)的定义是，如果函数\(f(x_1,\cdots ,x_n)\)满足以下关系：

\[f(sx_1,\cdots,sx_n)=s^kf(x_1,\cdots,x_n) \tag{1} \]

则函数\(f(x_1,\cdots,x_n)\)是齐次(homogeneous of degree k)的。^[1][2][3]

而对于齐次线性方程(homogeneous linear equation)的定义是，若有线性微分方程

\[\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) \tag{2} \]

当\(Q(x)=0\)时，方程是齐次的。这种定义与线性代数中的定义相似。^[4]

对于高阶线性微分方程，如

\[\frac{d^2y}{dx^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=f(x) \]

当\(f(x)=0\)时，方程是齐次的。

一般地，高阶线性微分方程可表示为

\[y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f(x) \tag{3} \]

当\(f(x)=0\)时，方程为齐次的。即

\[L=\sum_{i=0}^{n}f_i(x)\frac{d^iy}{dx^i}=0 \]

微分方程(2)和(3)的齐次情况是与式(1)无关的。^[5][6][3:1]

若(1)为二元函数

\[f(sx,sy)=s^kf(x,y) \tag{4} \]

用\(s=1/x\)代入(4)中^[1:1]，可以得到

\[f(1,\frac{y}{x})=x^{-k}f(x,y) \]

即

\[f(x,y)=x^{k}f(1,\frac{y}{x})=x^{k}g(\frac{y}{x}) \tag{7} \]

注意这个变换会改变\(f(x,y)\)的定义域。例如

\[f(x,y)=x^2+xy+y^2 \tag{6} \]

此为二阶齐次方程，定义域\(x,y \in \mathbb{R}\)，即

\[f(sx,sy)=s^2f(x,y) \tag{5} \]

用\(s=1/x\)代入(5)，则(6)会变成

\[f(x,y)=x^2g\left(\frac{y}{x}\right)=x^2\left(1+\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^2\right) \]

此时\(g(x,y)\)的定义域为\(y \in \mathbb{R}, x \in (-\infty,0)\cup(0,+\infty)\).

(7)式这种二元齐次方程的性质，可以用于求解一阶常微分方程。如有一阶常微分方程符合以下形式

\[\frac{dy}{dx}=f(x,y)=\frac{M(x,y)}{N(x,y)} \tag{8} \]

其中\(M(x,y)\),\(N(x,y)\)为有相同幂次(degree)的齐次方程，即

\[M(sx,sy)=s^kM(x,y) \]

\[N(sx,sy)=s^kN(x,y) \]

则根据式(7)，有

\[\frac{dy}{dx}=\frac{P(\frac{y}{x})}{Q(\frac{y}{x})} \]

令\(g(\frac{y}{x})=\frac{P(\frac{y}{x})}{Q(\frac{y}{x})}\)，

\[\frac{dy}{dx}=g(\frac{y}{x}) \tag{9} \]

再令\(u=\frac{y}{x}\)则可以使(8)变成可分离变量(separable)的微分方程，从而求出方程的解。^[7]

很多教材^{[5:1][6:1][7:1]}都直接使用了(9)这个结论，从而混淆了齐次方程的真正含义。而对于一阶齐次线性方程，即式(2)中\(Q(x)=0\)的情况，也可以用到(9)来解方程，只要令\(f(x,y)=P(x)y\)，则

\[\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x,y)=0 \tag{10} \]

如果(10)满足(8)的形式，则可以利用(9)来求解一阶齐次线性方程。

总之，齐次线性方程不是齐次方程，齐次线性方程不一定能使用齐次方程的性质进行求解。

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1. R.P. Agarwal; D. O’Regan (2008), An Introduction to Ordinary Differential Equations, Springer, p.21,22, ISBN: 978-0-387-71275-8. ↩︎ ↩︎

2. James Stewart, (2015), Calculus(8th ed.), CENGAGE Learning, p.986. ↩︎

3. Earl A. Coddington (1989), An Introduction to Ordinary Differential Equations, Dover, p.191. ↩︎ ↩︎

4. D.C. Lay; Steven R. Lay; J.J. McDonald (2016), Linear Algebra and Its Applications(5th ed.), Pearson. ↩︎

5. W.E. Boyce; R.C. DiPrima (2012), Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems(10th Ed.), Wiley, p.49-50. ↩︎ ↩︎

6. James C. Robinson (2004), An Introduction to Ordinary Differential Equations, Cambridge, p.94. ↩︎ ↩︎

7. 同济大学数学系 (2014), 高等数学(第七版 上册), 高等数学出版社, p.309. ↩︎ ↩︎