集合论的一些推理过程剖析

最近看了一节数学分析的课程，里面介绍了集合论中的一些定义。老师在证明空集是任意集合的子集时，引起了堂上学生的很多疑问。我突然想起最近读的一本哲学书籍，里面提到了一些逻辑推理的方法。这个数学定理的证明过程，其实与逻辑推理有着十分密切的关系。

我们的知识，都是从逻辑推理中得到的。逻辑推理其实默认了理性中的因果关系，也就是果源于因，而因必先于果的事实。逻辑推理归为两大类，演绎推理和归纳推理。

演绎推理是先定一个一般性的前提，然后由这个一般性的前提推导出特殊性的结论。典型的三段论演绎法就是这么做的：

前提：所有M都是P

特殊情景：如果S是M

结论：则S是P

归纳推理则是由特殊到一般的推理过程：

前提：男人有五官，女人有五官，男人和女人都是人

结论：人有五官

结合到数理逻辑的表述，这种推理就变得复杂起来了。因为一句数学上的陈述，由于其逻辑的严谨性，可以转换成多种逻辑推理的陈述。

例如关于集合包含的定义，

集合A包含于集合B的定义为：对于任意元素x，若x属于集合A，则x必属于集合B。

上面的陈述，有若.......则.......的句式。这种句式，其实是一个推理过程“若x属于集合A”是前提条件（因），“则x必属于集合B”是结论（果）。而更大的前提，则是这个推理过程要描述的一个概念，就是“集合A包含于集合B”这个概念。用一个推理过程必定成立作为一个概念的描述，这就是数学的一种表述方法。数学的一切概念，都必须通过逻辑推理引出。

然而，“集合A包含于集合B”这个概念，还有另外一种定义的表述：集合A中的所有元素都属于集合B。

其实这种表述与“对于任意元素x，若x属于集合A，则x必属于集合B”是等价的。但由于前一种表述里面是没有逻辑推理的意义在内，只能算是一般陈述。用一个一般陈述句来描述（或定义）另一个一般的陈述句，即“集合A包含于集合B”看起来是没有意义的。但其实当我们进一步分析“集合A中的所有元素都属于集合B”这句话里面的成分时，就会发现，它比“集合A包含于集合B”这句话的信息多了“元素”和“属于”两个概念。而“...中的...所有...都..."这几个字形成的句式，与”若...则...“句式有着相同的逻辑推理含义。我们尝试着将它转换成“若...则...”的句式，看看是不是意思不变。

若集合A中的所有元素都属于集合A，则集合A中的所有元素都属于集合B。

显然，“集合A中的所有元素”是等价于“任意元素x”的。因此，上面的两种定义是等价的，里面都包含着逻辑推理过程。

现在我们了解了两种集合包含定义的表述方式。这两种方式都包含着一种推理的过程：

原命题：

对于任意x，若x属于集合A，则x属于集合B

逆否命题：

对于任意x，若x不属于集合B，则x不属于集合A

原命题等价于逆否命题

空集的定义：

对于任意元素x，x不属于集合A，则A为空集。

证明，对于任意集合A，空集包含于A：

如果空集包含于A成立，则有：

对于任意x，若x属于空集，则x属于集合A

逆否命题：对于任意x，若x不属于集合A，则x不属于空集

由于“x不属于空集”就是空集的定义，因此此陈述总为真。而它的前提“若x不属于集合A”是不会影响此结论的，因此此逆否命题为真。

但x不属于空集是x不属于集合A的必要条件吗？如果结论总是真的，那命题还具有因果关系吗？

例如，若我在写字，则太阳会发光，这个命题就不具有因果关系，也没有逻辑关系。