【数学】牛顿切线法在幂级数科技上的应用

牛顿迭代法是啥啊？用来找函数零点的一个理论复杂度同二分但是实际上快而nb的多的东西。

inv

设 \(G(x) = \dfrac 1{F(x)} (\bmod x^n)\)，变形，\(\dfrac{1}{G(x)} - F(x) = 0\)构造函数 \(y = \dfrac 1{G(x)} - F(x)\)，在其自变量为 \(G(x)\) 时求其零点。

求导，\(\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dG(x)}y = -\dfrac{1}{G(x)^2}\)，设上一个求得的答案为 \(G_0(x)(\bmod x^{\lceil\frac n 2\rceil})\)，则找到一条切线 \(l:y = -\dfrac{1}{G_0(x)^2}(G(x) - G_0(x)) + \dfrac{1}{G_0(x)} - F(x)\)。

令 \(y = 0\)，解得 \(G(x) = 2G_0(x) - F(x)G_0(x)^2(\bmod x^n)\)，边界条件 \(G_0(x) = ([x^0]F(x))^{-1}(\bmod x)\)。

会了 inv 别的比如 exp，sqrt 都是如法炮制。